Московский городской Дворец творчества детей и юношества
Московский центр непрерывного математического образовани
(осень 1999)
Дорогой друг! Приглашаем тебя принять участие в заочном конкурсе по математике и информатике. Участвовать в нём может любой ученик 6, 7 или 8 класса. Если Вы не присылали решения каких-либо задач - не беда, просто при подведении итогов будет считаться, что Вы их не решали.
На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс. Справки по всем вопросам, связанным с конкурсом: 241-05-00.
Решения (не только ответы!) задач 6-15 следует выслать до 25.10.1999 по адресу:
Москва, 117978, улица Косыгина, дом 17, Московский городской Дворец творчества детей и юношества, отдел техники, заочный конкурс, ... класс, задачи 6-15.
(вместо ... вставьте 6, 7 или 8 в зависимости от класса, в котором Вы учитесь).
На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию.
В письмо следует вложить пустой незаклеенный конверт с написанным на нем своим адресом (в этом конверте Вам будет послано приглашение на разбор задач и результаты проверки) и почтовые марки на сумму, соответствующую почтовому тарифу на момент отправки письма. Приклеивать марки к конверту также не нужно - иначе, если цены повысятся, ваши марки придётся отдирать и переклеивать.
На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, класс и номер школы.
Решения задач с 16 по 25 следует выслать до 08.11.1999.
по тому же адресу, заменив в нем "6-15" на "16-25", указав обратный адрес, вложив конверт и т. п. Этот второй конверт будет использован для того, чтобы послать Вам информацию о заочном конкурсе, кружках по математике и информатике, математических классах и т. п. На этот раз карточку участника отправлять не надо.
Пожалуйста, перед отправкой письма проверьте еще раз, правильно ли указана вся необходимая информация, перечтя внимательно наши инструкции - это облегчит нашу работу.
Пожалуйста, не отправляйте задачи 6-15 и 16-25 в одном конверте, а также задачи одной группы в разных конвертах. Также убедительная просьба не пытаться передать свои решения задач в жюри каким-либо иным способом, кроме как по почте по вышеуказанному адресу.
Спасибо!
Желаем успеха!
1. Двадцать пятиметровых брёвен распилили на полуметровые поленья. Сколько распилов при этом было сделано?
2. При делении на 3 число даёт остаток 2, а при делении на 5 - остаток 1. Какой остаток получится при делении на 15 ?
3. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, никакие два из которых не образуют вместе прямоугольника (не имеют общей стороны).
4. Петя и Дима по очереди пишут цифры шестизначного числа, начиная слева. Первым ходит Петя. Он выигрывает, если полученное шестизначное число не делится на 7. Кто выигрывает при правильной игре? Как надо играть?
5. Найдите сумму (1/101)+(1/102)+...+(1/199)+(1/200) с ошибкой не больше 1/4. (Надо указать какое-нибудь число и объяснить, почему значение суммы отличается от него не более чем на 1/4.)
6. У мальчика столько же сестёр, сколько братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев. Сколько в этой семье мальчиков и сколько девочек?
7. В коробке 12 красных и 8 синих карандашей. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо оказалось не меньше 3 красных и не меньше 5 синих?
8. Одиннадцать мячей разного размера лежали в одиннадцати коробках. Мячи вынули из коробок. Когда их стали укладывать назад, коробки перепутались (мяч мог попасть не в свою коробку, а в бо'льшую). В результате несколько мячей осталось без коробок (все свободные коробки для них малы). Какое наибольшее число мячей могло остаться без коробок?
9. Можно ли расположить 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки?
10. Можно ли расположить 15 точек на 6 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 5 точек?
11. Я отпил 1/6 чашки кофе и долил её молоком. Затем я выпил 1/3 чашки и долил её молоком. Потом я выпил полчашки и опять долил её молоком. Наконец, я выпил полную чашку. Чего я выпил больше: кофе или молока?
12. Может ли ответ в предыдущей задаче измениться, если перемешивать (после того, как долито молоко) не очень тщательно?
13. Можно ли разбить число 174 на три целых положительных слагаемых так, чтобы сумма любых двух из них делилась нацело на третье?
14. Написать какое-нибудь трёхзначное число с таким свойством: с любым из чисел 543, 142 и 562 оно совпадает ровно в одном разряде (единиц, десятков или сотен).
15. Можно ли замостить плоскость (без перекрытий и пробелов) плитками такой формы?
_ _ _ _ |_|_|_|_| |_| |_|
16. Что больше: сумма всех чётных чисел первой тысячи (от 2 до 1000) или сумма всех нечётных чисел первой тысячи (от 1 до 999)? На сколько?
17. Три путешественника варили кашу: первый дал две кружки крупы, а второй одну. У третьего крупы не было, и он дал 6 рублей в качестве платы за крупу. Как должны поделить эту плату первый и второй путешественники?
18. Что больше: 57% от 43 или 43% от 57?
19. Какое частное и какой остаток получатся при делении целого числа 1*2*3*4*...*17 + 1 на 5?
20. Можно ли переставить числа в нарисованном квадрате так, чтобы суммы по трём вертикалям, трём горизонталям и двум диагоналям стали равны?
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 |
21. Механические часы (стрелки движутся равномерно и без скачков) показывают полдень. При этом часовая и минутная стрелки совпадают на цифре 12. В какой момент часовая и минутная стрелки совпадут в следующий раз?
22. (Продолжение) Сколько раз за сутки совпадают часовая и минутная стрелки?
23. На дороге, соединяющей два аула, нет ровных участков. Автобус едет в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору - со скоростью 30 км/ч. Каково расстояние между аулами, если путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа без остановок?
24. Сколько было брёвен, если после 57 распилов получилось 103 полена?
25. От моста через реку поплыли: пловец против течения и мяч по течению. Через 20 минут пловец вспомнил о мяче, повернул обратно и догнал его в 2 км от моста. Какова скорость течения?