Личная олимпиада (6 кл., 7 кл., 8 кл.), командная олимпиада (сеньоры, юниоры), решения задач
1. Докажите, что ребус: ЗАДАЧА+ЗАДАЧА = ТУРНИР не имеет решений. (Женодаров)
2. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ..., 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири - каждый на свою чашу двухчашечных весов - причем первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться? (Ю. Лифшиц)
3. Пусть S(n) - сумма цифр числа n. Найдите все n, для которых
| S(n)+S(S(n))+...+ | S(S(...S(n)...)) | =2000000 |
| n-1 раз |
4. В треугольнике ABC /A = 3/C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что /ADC = 2/C. Доказать, что AB+AD=BC. (С. Берлов)
5. Имеется n дискеток и n этикеток, раскрашенные в несколько цветов. Дубль - это дискета, к которой приклеена этикетка того же цвета. Докажите, что можно добиться того, что все дубли будут одного цвета.
1 Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое? (Каждая цифра должна быть использована ровно один раз). (Женодаров)
2. Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени. В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город P и прибыл туда в 13.00 того же дня по P-скому времени. Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени. Сколько времени самолет находился в воздухе? Ответ обязательно должен быть обоснован. (И.С. Рубанов, районный тур Кировской области, 1996, 9 кл.)
3. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ..., 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири - каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться? (Ю. Лифшиц)
4. Пусть S(n) - сумма цифр числа n. Найдите все n, для которых
| S(n)+S(S(n))+...+ | S(S(...S(n)...)) | =2000000 |
| n-1 раз |
5. В треугольнике ABC /A = 3/C. Точка D на стороне BC обладает тем свойством, что /ADC = 2/C. Доказать, что AB+AD = BC. (С. Берлов)
1. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое? (Каждая цифра должна быть использована ровно один раз). (Женодаров)
2. Докажите, что ребус: ЗАДАЧА+ЗАДАЧА = ТУРНИР не имеет решений. (Женодаров)
3. Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по местному времени. В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в город P и прибыл туда в 13.00 того же дня по P-скому времени. Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по московскому времени. Сколько времени самолет находился в воздухе? Ответ обязательно должен быть обоснован. (И.С. Рубанов, районный тур Кировской области, 1996, 9 кл.)
4. Имеется 100 дискеток и 100 этикеток, раскрашенные в два цвета. Дубль - это дискета, к которой приклеена этикетка того же цвета. Докажите, что можно добиться того, что все дубли будут одного цвета? (А. Шапиро)
5. У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ..., 55 кг. Они по очереди подкладывают свои гири - каждый на свою чашу двухчашечных весов. Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться? (Ю. Лифшиц)
1. За успехи в математике была награждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошее выступление на Уральском турнире, 11 - за победу на областной олимпиаде и 13 - за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше 20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что три награды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды? (О. Н. Нечаева)
2. В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на 2 секунды быстрее Пети, а Петя - на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле - два круга. Сколько кругов составляла дистанция? (С. Г. Корытов)
3. Число состоит из 36 цифр. Разрешается разбить его на группы из шести цифр и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой. Докажите, что эта большая перестановка делится на 49. (А. Проскурников)
4. По кругу сидят 2000 рыцарей и лжецов. Каждый из них заявил, что его соседи - лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них лжецов? (Р. Семизаров, вариант)
5. В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 взяли точку, для которой отношение расстояния до самой далекой вершины к расстоянию до самой близкой стороны минимально. Чему равно это отношение? (С. Г. Волченков, специализация)
6. Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали +1 или -1. Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках, которые имеют с ним общую сторону. Докажите, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число +1. (Украинская респ., 1980)
1. В некотором месяце вторников больше чем понедельников и больше чем сред. Какой это мог быть месяц? (Р. Г. Женодаров)
2. За успехи в математике была награждена группа ребят. При этом 14 школьников были отмечены за хорошее выступление на Уральском турнире, 11 - за победу на областной олимпиаде и 13 - за отличную учебу в ЛМШ. Известно, что всего награждено было меньше 20 человек (причем могли награждать и за другие успехи). Оказалось, что три награды не получил никто. А сколько ребят получили по две награды? (О. Н. Нечаева)
3. В соревнованиях велогонщиков на круговом треке приняли участие Вася, Петя и Коля. Вася каждый круг проезжал на 2 секунды быстрее Пети, а Петя - на три секунды быстрее Коли. Когда Вася закончил дистанцию, Пете осталось проехать один круг, а Коле - два круга. Сколько кругов составляла дистанция? (С. Г. Корытов)
4. Число состоит из 36 цифр. Разрешается разбить его на группы из шести цифр и переставить эти группы как-нибудь. Известно, что одна из перестановок в семь раз больше другой. Докажите, что эта большая перестановка делится на 49. (А. Проскурников.)
5. По кругу сидят 2001 рыцарей и лжецов. Каждый заявил, что его соседи - лжец и рыцарь, но два рыцаря при этом ошиблись. Сколько среди них лжецов? (Р. Семизаров)
6. Каждая сторона правильного треугольника поделена на 15 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. В результате этого получили разбиение треугольника на маленькие треугольнички. После этого в каждый из маленьких треугольничков записали +1 или -1. Известно, что число в каждом треугольничке равно произведению чисел в тех треугольничках, которые имеют с ним общую сторону. Докажите, что в каждом из маленьких треугольничков, прилегающих к серединам сторон большого треугольника, стоит число +1. (Украинская респ., 1980)
1. (6-7) Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и
одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое? (Каждая цифра
должна быть использована ровно один раз). (Р.Г. Женодаров)
Ответ. Можно. 532 делится на 14, а 215 делится на 43.
2. (6-7) Самолет вылетел из Москвы в час ночи 15 декабря по
московскому времени и прибыл в город N в семь утра того же дня по
местному времени. В полдень 15 декабря по N-скому времени он вылетел в
город P и прибыл туда в 13.00 того же дня по P-скому времени.
Через два часа он вылетел в Москву и вернулся туда в 18.00 15 декабря по
московскому времени. Сколько времени самолет находился в воздухе? Ответ
обязательно должен быть обоснован.
(И. С. Рубанов, районный тур Кировской области, 1996, 9 кл.)
Ответ. 10 часов. Решение. Самолет отсутствовал
в Москве 17 часов с 1.00 до 18.00, при этом он находился на земле всего 7
часов - с 7.00 до 12.00 по местному времени в городе N и c 13.00 до
15.00 местного времени в городе P. Следовательно, все остальное время он
летел.
3. (6-8) У Васи и Пети по 55 гирь весом 1, 2, ..., 55 кг. Они по
очереди подкладывают свои гири - каждый на свою чашу двухчашечных весов.
Первым ходит Вася. Петя выигрывает, если разность масс гирь на чашах окажется
равной 50 кг. Сможет ли он этого добиться? (Ю.М. Лифшиц)
Ответ. Да. Решение 1. Петя может просто
повторять ходы Васи. В какой-то момент Вася вынужден будет сходить гирей 50 кг -
и немедленно проиграет. Решение 2. Петя откладывает в сторону
свою 50-килограммовую гирю и ходит как угодно остальными гирями. В конце игры
Вася выложит все гири, а Петя - все, кроме 50-килограммовой. Следовательно,
чаша Васи будет весить на 50 кг тяжелее.
4. (6, 8) Докажите, что ребус ЗАДАЧА+ЗАДАЧА = ТУРНИР не имеет
решений. (Р. Г. Женодаров)
Решение. Сложение А+А должно быть выполнено в трех
различных разрядах, при этом результаты записываются тремя различными буквами -
У, Н и Р. Но это невозможно, так как А+А
может принимать только два разных значения - эта сумма является либо некоторым
четным числом (если нет переноса из предыдущего разряда), либо следующим за ним
нечетным (если есть перенос единицы из предыдущего разряда). Переноса двух
единиц быть не может.
5. (6, 8) Имеется 100 дискеток и 100 этикеток, раскрашенные в
несколько цветов. Дубль - это дискета, к которой приклеена этикетка того же
цвета. Докажите, что можно добиться того, что все дубли будут одного цвета?
(А. Шапиро)
Решение 1. Наклеим сначала этикетки на дискетки в
произвольном порядке. Предположим, что у нас образовались дубли нескольких
различных цветов. Возьмем по одной дискетке-дублю двух разных цветов и обменяем
их этикетки. После этого каждая из дискеток перестанет быть дублем, так что
общее число дублей уменьшится на 2. Далее будем повторять эту операцию до тех
пор, пока дублей различных цветов не останется.
Решение 2. Докажем нужный факт индукцией по числу дискеток
(при этом можно даже не обращать внимание на соответствие цветов дискеток и
этикеток!). База индукции (одна дискетка) очевидна. Переход: если все
k+1 дискеток одноцветны, то и доказывать нечего. Если же есть дискетки
разных цветов, то возьмем одну из них и наклеим на нее этикетку другого цвета,
а для остальных k дискеток применим предположение индукции.
6. (7-8) Пусть S(n) - сумма цифр числа n.
Найдите все n, для которых
.(О. С. Нечаева)
Ответ. Таких n не существует.
Доказательство. Все n слагаемых в левой части дают
одинаковый остаток при делении на 3, совпадающий с остатком от деления на 3
самого числа n. Перебирая три различных случая, получаем, что остаток от
деления левой части на 3 равен либо 0, либо 1. Но правая часть - число 2000000 -
при делении на 3 дает в остатке 2.
7. (7-8) В треугольнике ABC /A = 3/C. Точка D
на стороне BC обладает тем свойством, что
/ADC = 2/C. Доказать, что
AB+AD = BC. (С.Л. Берлов)
Доказательство. Продолжим отрезок BA за точку A и
отложим на нем отрезок AE = AD. Заметим, что
/EAC=180o-/BAC=180o-3/C,
поэтому треугольники ADC и AEC равны (по сторонам AC,
AD=AE и углу между ними). Отсюда находим углы треугольника
AEC: /AEC = /ADC = 2/C,
/ACE=/C, т. е.
/BCE = 2/C, поэтому треугольник BEC
равнобедренный. Таким образом,
AB+AD = AB+AE = BE = BC.