1. Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел - целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000. (США, олимпиада университета Висконсин)
2. Через точку M - середину стороны AC треугольника ABC (AB не равно BC) - провели прямую, параллельную биссектрисе угла B. Она пересекла прямую BC в точке X, а прямую AB - в точке Y. Через точки X и Y провели прямые, перпендикулярные BC и AB соответственно. Докажите, что точка их пересечения равноудалена от вершин A и C. (С. Берлов)
3. Чертежный инструмент "треугольник" - это железный равносторонний треугольник со стороной 1. Можно приложить треугольник к любой точке или к любому ранее проведенному отрезку и обвести контур треугольника. Также разрешается соединять отрезком две точки на расстоянии не более 1. Докажите, что с помощью треугольника можно разделить данный отрезок пополам. (Ю. Лифшиц)
4. На доске написано натуральное число. Первую цифру сложили со второй, вторую с третьей, и так далее, предпоследнюю цифру сложили с последней, после чего эти числа выписали в строчку без пробелов, сохраняя порядок. С полученным числом проделали такую же операцию, и так далее (например, из 1568 получается 61114, а из него, в свою очередь, 7225). Найдите наименьшее число, из которого такими операциями нельзя получить однозначное число. (А. Переверзев)
5. Известно, что x > y > 0 и 2(x+y) > (xy)1/5. Докажите, что х > 4y. (А. Б. Воронецкий)
6. Квадрат разбит на четное число прямоугольников. Докажите, что можно его разрезать на два многоугольника так, чтобы разрез шел по границам прямоугольников и в каждом многоугольнике оказалась половина всех прямоугольников. (А. В. Шаповалов)
7. Чебурашка и Шапокляк поедают ящик апельсинов. За один ход Шапокляк может либо съесть один хороший апельсин, либо заменить два хороших апельсина на два гнилых, Чебурашка может либо съесть два хороших апельсина, либо съесть один хороший и выкинуть один гнилой. Первым ходит Чебурашка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре, если изначально в ящике было n хороших и ни одного гнилого апельсина? (А. И. Храбров)
8. На острове Невезения 2000 жителей. Часть из них - лжецы, которые всегда лгут, а остальные - рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них знает, кем - лжецом или рыцарем - является любой другой житель острова, кроме его ближайшего соседа (одного, если таких соседей несколько). Приехавший корреспондент перенумеровал всех жителей острова, а потом провел социологический опрос, и каждый опрошенный, имевший порядковый номер k, сказал: "Я знаю, что на острове не менее k лжецов". Докажите, что на острове есть два рыцаря, один из которых - ближайший сосед другого. (О. С. Нечаева, И. С. Рубанов)
1. На шахматной доске 2000*2000 стоят n2 коней и 2000-n ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее количество фигур может быть на доске?(С. Г. Волченков)
2. В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причем всего есть 200 дорог. Оказалось, что любой циклический маршрут имеет длину не менее пяти. Докажите, что существуют два непересекающихся циклических маршрута. (Д. В. Карпов)
3. Десять гирь весом 1, 2, ..., 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую - какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии. (И. С. Рубанов, К. А. Кноп)
4. В параллелограмме ABCD перпендикуляры к сторонам AB и AD, восставленные, соответственно, из вершин B и D пересеклись в точке, лежащей на прямой AC. Докажите, что ABCD - ромб или прямоугольник. (Л. Э. Медников)
5. Существует ли такой конечный набор натуральных чисел, что все их попарные суммы различны и среди этих попарных сумм есть 100 натуральных чисел, идущих подряд? (С. Л. Берлов)
6. В клетках таблицы 100*100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Сколько различных чисел может остаться в таблице через 4 часа? (Украина, N593, вариант)
7. Пусть n - натуральное число. Обозначим через Pk количество целых неотрицательных решений уравнения kx+(k+1)y = n-k+1. Выразите сумму P1+P2+...+Pn через n. (Чехия, 1978)
8. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD. Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB. (Саратов, 1993-94)
1. N кругов расположены так, что центр каждого из них лежит внутри ровно одного из остальных, и внутри каждого лежит центр ровно одного из остальных. Найдите все числа N, при которых такое возможно. (А. Грибалко)
2. Квадратная страна 2000*2000 км разбита на прямоугольные области 100*200 км. Области объявили независимость, и каждая пара областей, имеющих общий участок границы, построила на двоих одну таможню. Какое наибольшее число таможен могло быть построено? (А. В. Шаповалов)
3. У художника-копииста есть картина, представляющая из себя белый клетчатый прямоугольник, на котором некоторые клетки покрашены в черный цвет, и бесконечный белый клетчатый холст. Художник каждый полдень закрашивает две клетки холста в черный цвет, а его сын-хулиган каждую полночь перекрашивает одну из них обратно в белый цвет. Музей принимает картины ежедневно с 9.00 до 10.00. Докажите, что вне зависимости от действий сына художник может скопировать картину, вырезать ее из холста и сдать в музей. (О. С. Нечаева)
4. У каждой из 4100 плиток размером 1*1 две стороны покрашены в черный цвет, а две стороны - в белый. Докажите, что из этих плиток можно сложить квадрат 64*64 так, чтобы любые две соседние по стороне плитки прилегали друг к другу сторонами разных цветов. (Ю. М. Лифшиц)
5. На микрокалькуляторе ТыкДык-200000 есть кнопки "+1", "-16", "-9" и "+8", причём калькулятор взрывается, как только в него попадает число, делящееся на 8. Докажите, что из числа 1 нельзя получить ровно за 200000 операций число 200001, не взорвав калькулятор. (Р. А. Семизаров)
6. Точка P внутри остроугольного треугольника ABC такова, что /PAC=/PBC. Точки L и M - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что точки L и M равноудалены от середины стороны AB (Австралия, 1983)
7. Докажите, что если ac-a-c=b2-2b, bd-b-d=c2-2c и b не равно c, то ad+b+c=bc+a+d. (Украина, 1984)
8. Докажите, что в любой бесконечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, есть число с нечетной суммой цифр. (С. Л. Берлов)
1. Докажите, что при n>2 число n! можно представить в виде суммы n различных его делителей. (Польша, 1986)
2. Докажите, что существует натуральное число n такое, что в записи числа n1/2 сразу после десятичной запятой подряд идут цифры 20001999. (Украина 1986)
3. В треугольнике ABC AB=BC. На стороне AB выбрана точка M, а на продолжении стороны AC - точка K такая, что KM=MC. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекается с CM в точке P. Докажите, что прямая AP делит отрезок KM пополам. (С. Л. Берлов)
4. С написанными на доске положительными числами разрешается выполнить одну из двух следующих операций: 1) стереть произвольное число x и записать два раза число (x+1)1/2+1; 2) стереть два произвольных числа x и y и записать число x+y+xy. Изначально на доске написано число a. Через несколько операций на доске оказалось написано одно число. Докажите, что оно равно a. (А. Проскурников)
5. Остап Бендер дает сеанс одновременной игры 45 шахматистам, сидящим по кругу. Напротив некоторых из шахматистов стоят стулья. Остап садится на стул перед шахматистом, и, сделав ход, переходит к следующему по часовой стрелке шахматисту. При этом он передвигает стул, если перед следующим шахматистом стула нет. Все стулья одинаковы. Могло ли случиться так, что в течение 2000 ходов Остапа ни разу не повторилось расположение стульев и Остапа (считается, что за это время ни одна из партий не закончится) ?
6. М - середина стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD. Оказалось, что углы BAD, BMC и CDA равны 60o. Докажите, что AB+CD=AM+BC. (С. Л. Берлов)
7. Во дворе стоят несколько столбов, некоторые пары соединены проводами. Всего протянуто mn проводов, и эти провода раскрашены в n цветов, причем ни от какого столба не отходят провода одинакового цвета. Докажите, что можно перекрасить эти провода так, чтобы проводов всех цветов было поровну и по-прежнему ни от какого столба не отходили два провода одного цвета. (Украина, 1989)
8. Числа от 1 до 100 выписали в строку в некотором порядке. Среди любых трех подряд стоящих чисел подчеркнули среднее по величине. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех подчеркнутых чисел? (С. Л. Берлов)
1. Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел - целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000. (США, олимпиада университета Висконсин)
2. BD - биссектриса угла АDС выпуклого четырехугольника ABCD. Известно, что /BAD=/DBC и 3/BAD+2/BDA=180o. Докажите, что BA+CD=AD. (С. Берлов)
3. Чертежный инструмент "треугольник" - это железный равносторонний треугольник со стороной 1. Можно приложить треугольник к любой точке или к любому ранее проведенному отрезку и обвести контур треугольника. Также разрешается соединять отрезком две точки на расстоянии не более 1. Докажите, что с помощью треугольника можно разделить данный отрезок пополам. (Ю. М. Лифшиц)
4. На доске написано натуральное число. Первую цифру сложили со второй, вторую с третьей, и так далее, предпоследнюю цифру сложили с последней, после чего эти числа выписали в строчку без пробелов, сохраняя порядок. С полученным числом проделали такую же операцию, и так далее (например, из 1568 получается 61114, а из него, в свою очередь, 7225). Найдите наименьшее число, из которого такими операциями нельзя получить однозначное число. (А. Переверзев)
5. В каждой клетке шахматной доски находится таракан. За одно действие все тараканы, находящиеся в некоторой клетке, могут переползти в соседнюю клетку, если в ней есть хотя бы один таракан (нельзя переползать в пустые клетки). Может ли случится, что после нескольких действий тараканов расположение тараканов будет следующим: по 8 тараканов в клетках а7 и g1, по 10 тараканов в клетках а5 и e1, по 12 тараканов в клетках а3 и c1 и, наконец, 4 таракана в клетке а1? (Р. Г. Женодаров)
6. В жюри олимпиады 20 человек. Каждое заседание начинается с того, что члены жюри, которых более половины присутствующих считают некомпетентными, изгоняются навсегда. Докажите, что через 10 заседаний состав жюри стабилизируется. (Р. А. Семизаров)
7. Чебурашка и Шапокляк поедают ящик апельсинов. За один ход Шапокляк может либо съесть один хороший апельсин, либо заменить два хороших апельсина на два гнилых, Чебурашка может либо съесть два хороших апельсина, либо съесть один хороший и выкинуть один гнилой. Первым ходит Чебурашка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре, если изначально в ящике было n хороших и ни одного гнилого апельсина? (А. И. Храбров)
8. На острове Невезения 2000 жителей. Часть из них - лжецы, которые всегда лгут, а остальные - рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них знает, кем - лжецом или рыцарем - является любой другой житель острова, кроме его ближайшего соседа (одного, если таких соседей несколько). Приехавший корреспондент перенумеровал всех жителей острова, а потом провел социологический опрос, и каждый опрошенный, имевший порядковый номер k, сказал: "Я знаю, что на острове не менее k лжецов". Докажите, что на острове есть два рыцаря, один из которых - ближайший сосед другого. (О. С. Нечаева, И. С. Рубанов)
1. На шахматной доске 20*20 стоят n2 коней и 20-n ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее количество фигур может быть на доске? (С. Волченков)
2. Какие значения может принимать число х, если выполняются такие равенства: a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=x ? (Украина, 1987)
3. Десять гирь весом 1, 2, ..., 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую - какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии. (И. С. Рубанов, К. А. Кноп)
4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и AB=BC=BD. Докажите, что CD=CO (O - точка пересечения диагоналей). (Л. Э. Медников)
5. Существует ли такой конечный набор натуральных чисел, что все их попарные суммы различны и среди этих попарных сумм есть 100 натуральных чисел, идущих подряд? (I>С. Л. Берлов)
6. В клетках таблицы 100*100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Сколько различных чисел может остаться в таблице через 4 часа? (Украина, N593, вариант)
7. Вася написал программу, которая решает ребус ДВА+ТРИ=ПЯТЬ. Компьютер выдал 210 решений этого ребуса и сообщил, что других решений нет. Доказать, что программа работает неправильно. (Д. Ю. Кузнецов)
8. Написанное на доске число можно умножить или разделить на 5/6 или 9/10. Можно ли из 1 получить другое целое число? (А. Проскурников)
1. N кругов расположены так, что центр каждого из них лежит внутри ровно одного из остальных, и внутри каждого лежит центр ровно одного из остальных. Найдите все числа N, при которых такое возможно. (А. Грибалко)
2. Квадратная страна 2000*2000 км разбита на прямоугольные области 100*200 км. Области объявили независимость, и каждая пара областей, имеющих общий участок границы, построила на двоих одну таможню. Какое наибольшее число таможен могло быть построено? (А. В. Шаповалов)
3. У художника-копииста есть картина, представляющая из себя белый клетчатый прямоугольник, на котором некоторые клетки покрашены в черный цвет, и бесконечный белый клетчатый холст. Художник каждый полдень закрашивает две клетки холста в черный цвет, а его сын-хулиган каждую полночь перекрашивает одну из них обратно в белый цвет. Музей принимает картины ежедневно с 9.00 до 10.00. Докажите, что вне зависимости от действий сына художник может скопировать картину, вырезать ее из холста и сдать в музей. (О. С. Нечаева)
4. У каждой из 4100 плиток размером 1*1 две стороны покрашены в черный цвет, а две стороны - в белый. Докажите, что из этих плиток можно сложить квадрат 64*64 так, чтобы любые две соседние по стороне плитки прилегали друг к другу сторонами разных цветов. (Ю. М. Лифшиц)
5. На микрокалькуляторе ТыкДык-2000 есть кнопки "+1", "-16", "-9" и "+8", причём калькулятор взрывается, как только в него попадает число, делящееся на 8. Докажите, что из числа 1 нельзя получить ровно за 2000 операций число 2001, не взорвав калькулятор. (Р. А. Семизаров)
6. Каждый из 38 попугаев завязал на удаве по одному узлу. Если сложить удава вдвое или втрое, то каждый узел попадет ровно на один другой. Докажите, что если удава сложить вшестеро, то какой-то узел попадет на сгиб. (А. Семизаров)
7. В треугольнике АВС /А=45o, /В=60o. На продолжении стороны АВ за точку В отложен отрезок BD = 2AB. Найдите угол BDC. (К. А. Кноп)
8. Знайка взял на воздушный шар семь пакетов с песком (каждый из них весит целое число килограммов) общим весом 25 кг. Незнайка, узнав об этом, тут же заявил, что при помощи двухчашечных весов он сможет определить вес каждого из этих пакетов. Прав ли он? (Р. Г. Женодаров, К. А. Кноп)
1. В алфавите языка племени МУМБО-ЮМБО всего две буквы А и Б. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа таких операций: вычёркивания трёх подряд идущих букв А, вставки трех букв А в любое место, замены любого набора стоящих рядом букв АБА на набор стоящих рядом букв БААБ или обратной замены. Верно ли, что слово АББ...Б и слово ББ...БА (в каждом из этих слов буква Б встречается 2000 раз) означают одно и то же? (А. С. Штерн)
2. В точке 1 числовой оси сидит кузнечик. Длина каждого его прыжка равна (по его желанию) либо 3, либо 4. Может ли он за 99 прыжков побывать во всех целых точках от 2 до 100? (Р. Г. Женодаров)
3. Решите систему уравнений
| { | (x/y)+(y/x)=1/z |
| (z/y)+(y/z)=1/x | |
| (x/z)+(z/x)=1/y |
4. Пусть M и N - середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Известно, что серединные перпендикуляры к MN, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что AB=CD. (С. Л. Берлов)
5. Остап Бендер дает сеанс одновременной игры 45 шахматистам, сидящим по кругу. Напротив некоторых из шахматистов стоят стулья. Остап садится на стул перед шахматистом, и, сделав ход, переходит к следующему по часовой стрелке шахматисту. При этом он передвигает стул, если перед следующим шахматистом стула нет. Все стулья одинаковы. Могло ли случиться так, что в течение 2000 ходов Остапа ни разу не повторилось расположение стульев и Остапа (считается, что за это время ни одна из партий не закончится) ?
6. Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Найдите максимальное возможное значение их (всех десяти!) наибольшего общего делителя. (Киевская городская, 1979, 8 кл.)
7. Во дворе стоят несколько столбов, некоторые пары из них соединены проводами. Всего протянуто mn проводов, раскрашенных в n цветов, причем ни от какого столба не отходят провода одинакового цвета. Докажите, что можно перекрасить провода так, чтобы проводов всех цветов было поровну и по-прежнему ни от какого столба не отходили два провода одного цвета. (Украина, 1989)
8. Числа от 1 до 100 выписали в строку. Среди любых трех подряд стоящих чисел подчеркнули среднее по величине. Какое наименьшее количество чисел могло быть подчеркнуто? (С. Л. Берлов)
1. Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел - целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000.(США, олимпиада университета Висконсин)
2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A - прямой, E - точка пересечения диагоналей, точка F - проекция E на сторону AB. Докажите, что углы DFE и CFE равны. (С. Л. Берлов)
3. Чертежный инструмент "треугольник" - это железный равносторонний треугольник со стороной 1. Можно приложить треугольник к любой точке или к любому ранее проведенному отрезку и обвести контур треугольника. Также разрешается соединять отрезком две точки на расстоянии не более 1. Докажите, что с помощью треугольника можно разделить данный отрезок пополам. (Ю. М. Лифшиц)
4. На доске написано натуральное число. Первую цифру сложили со второй, вторую с третьей, и так далее, предпоследнюю цифру сложили с последней, после чего эти числа выписали в строчку без пробелов, сохраняя порядок. С полученным числом проделали такую же операцию, и так далее (например, из 1568 получается 61114, а из него, в свою очередь, 7225). Найдите наименьшее число, из которого такими операциями нельзя получить однозначное число. (А. Переверзев)
5. Известно, что x>y>0 и 2(x+y)>(xy)1/5. Докажите, что х>4y. (А. Б. Воронецкий)
6. Учительница дала отличнице Кате четыре положительных числа. Катя написала на доске числа 3, 4 и 7 и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трех из четырех данных ей чисел. Докажите, что Катя ошиблась. (Д. В. Карпов, Питер, районный тур, 2000, 8 кл.)
7. Чебурашка и Шапокляк поедают ящик апельсинов. Первоначально в нем 100 хороших апельсинов и 50 гнилых. За один ход Шапокляк может либо съесть один хороший апельсин, либо заменить два хороших апельсина на два гнилых, Чебурашка может либо съесть два хороших апельсина, либо съесть один хороший и выкинуть один гнилой. Первым ходит Чебурашка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (А. И. Храбров)
8. На острове Невезения 2000 жителей. Часть из них - лжецы, которые всегда лгут, а остальные - рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них знает, кем - лжецом или рыцарем - является любой другой житель острова, кроме его ближайшего соседа (одного, если таких соседей несколько). Приехавший корреспондент перенумеровал всех жителей острова, а потом провел социологический опрос, и каждый опрошенный, имевший порядковый номер k, сказал: "Я знаю, что на острове не менее k лжецов". Докажите, что на острове есть два рыцаря, один из которых - ближайший сосед другого. (О. С. Нечаева, И. С. Рубанов)
1. На шахматной доске 20*20 стоят несколько ладей, а на всех полях, которые ими не бьются, стоят кони. Никакие фигуры не бьют друг друга. Какое наибольшее количество фигур может быть на доске? (С. Г. Волченков)
2. Какие значения может принимать число х, если выполняются такие равенства: a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=x ? (Украина, 1987)
3. Десять гирь весом 1, 2, ..., 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую - какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии. (И. С. Рубанов, К. А. Кноп)
4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и AB=BC=BD. Докажите, что CD=CO (O - точка пересечения диагоналей). (Л. Э. Медников)
5. Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма остатков оказалось равна 39. Найдите остаток от деления этого числа на 3. (К. П. Кохась)
6. В клетках таблицы 100*100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Сколько различных чисел может остаться в таблице через 4 часа? (Украина, N593, вариант)
7. Вася написал программу, которая решает ребус ДВА+ТРИ=ПЯТЬ. Компьютер выдал 210 решений этого ребуса и сообщил, что других решений нет. Доказать, что программа работает неправильно. (Д. Ю. Кузнецов)
8. Написанное на доске число можно умножить или разделить на 5/6 или 9/10. Можно ли из 1 получить другое целое число? (А. Проскурников + жюри)
1. Можно ли расположить на плоскости 17 кругов так, чтобы центр каждого из них лежал внутри ровно одного из остальных, и внутри каждого лежал центр ровно одного из остальных? (А. Грибалко + жюри)
2. На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC выбрали точку D такую, что BC=CD. На катете BC выбрали такую точку E, что DE=CE. Докажите, что AD+BE=DE. (Ф. Л. Бахарев, СПб-2000)
3. У художника-копииста есть картина, представляющая из себя белый клетчатый прямоугольник, на котором некоторые клетки покрашены в черный цвет, и бесконечный белый клетчатый холст. Художник каждый полдень закрашивает две клетки холста в черный цвет, а его сын-хулиган каждую полночь перекрашивает одну из них обратно в белый цвет. Музей принимает картины ежедневно с 9.00 до 10.00. Докажите, что вне зависимости от действий сына художник может скопировать картину, вырезать ее из холста и сдать в музей. (О. С. Нечаева)
4. У каждой из 4100 плиток размером 1*1 две стороны покрашены в черный цвет, а две стороны - в белый. Докажите, что из этих плиток можно сложить квадрат 64*64 так, чтобы любые две соседние по стороне плитки прилегали друг к другу сторонами разных цветов. (Ю. М. Лифшиц)
5. На микрокалькуляторе ТыкДык-2000 есть кнопки "+1", "+16", "-7" и "-23", причём калькулятор взрывается, как только в него попадает число, делящееся на 8. Докажите, что из числа 1 нельзя получить ровно за 2000 операций число 2001, не взорвав калькулятор. (Р. А. Семизаров)
6. Докажите, что из любого простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число. (А. И. Храбров, СПб-2000)
7. Докажите, что если ac-a-c=b2-2b, bd-b-d=c2-2c и b не равно c, то ad+b+c=bc+a+d. (Украина, 1984)
8. В углу доски m*n стоит ладья. Двое по очереди передвигают ее по горизонтали или по вертикали. При этом все поля, через которые ладья прошла, из доски выбрасываются и ходить по ним или через них нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре? (В. И. Франк)
1. В алфавите языка племени МУМБО-ЮМБО всего две буквы А и Б. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа таких операций: вычёркивания трёх подряд идущих букв А, вставки трех букв А в любое место, замены любого набора стоящих рядом букв АБА на набор стоящих рядом букв БААБ или обратной замены. Верно ли, что слово АББ...Б и слово ББ...БА (в каждом из этих слов буква Б встречается 2000 раз) означают одно и то же? (А. С. Штерн)
2. Решите уравнение [11/2]+[21/2]+...+[n1/2]=999 (Здесь [x] - наибольшее целое число, не превосходящее x). (К. А. Кноп)
3. В чемпионате по рыбной ловле участвовало несколько рыбаков. Известно, что победитель (поймавший наибольшее число рыб) поймал ровно в 4 раз меньше рыб, чем все остальные участники вместе взятые. Рыбак, занявший третье место, поймал ровно в 9 раз меньше, чем все остальные, а рыбак, оказавшийся на последнем месте, поймал ровно в 10 раз меньше, чем все остальные. Сколько рыбаков участвовало в соревновании? (С. Л. Берлов и С. В. Иванов, СПб район 2000)
4. Пусть M и N - середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Известно, что серединные перпендикуляры к MN, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что AB=CD. (С. Л. Берлов)
5. Остап Бендер дает сеанс одновременной игры 45 шахматистам, сидящим по кругу. Напротив некоторых из шахматистов стоят стулья. Остап садится на стул перед шахматистом, и, сделав ход, переходит к следующему по часовой стрелке шахматисту. При этом он передвигает стул, если перед следующим шахматистом стула нет. Все стулья одинаковы. Могло ли случиться так, что в течение 2000 ходов Остапа ни разу не повторилось расположение стульев и Остапа (считается, что за это время ни одна из партий не закончится) ?
6. Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Найдите максимальное возможное значение их (всех десяти!) наибольшего общего делителя. (Киевская городская, 1979, 8 кл.)
7. Во дворе стоит 36 столбов, изначально между любыми двумя столбами натянут провод. Каждое утро по дороге в школу хулиган Вася срывает 35 проводов. Каждый вечер электрик Петров восстанавливает провода, отходящие от некоторого столба. Докажите, что Вася может действовать так, чтобы однажды утром после очередного акта вандализма осталось менее 18 проводов. (А. В. Пастор, СПб 2000)
8. В выпуклом четырехугольнике ABCD /CAD+/BCA=180o и AB=BC+AD. Докажите, что /BAC+/ACD = /CDA. (А. В. Пастор, СПб 2000)
1. Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел - целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000. (США, олимпиада университета Висконсин)
2. В группе из 40 ребят некоторые знают все буквы, кроме "м", которую просто пропускают при письме, а остальные - знают все буквы, кроме "р", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "мак", 15 других учеников - слово "рак", а остальных - слово "мрак". При этом слова "мак" и "рак" оказались написанными по 11 раз. Сколько ребят написали свое слово верно? (Р. А. Семизаров)
3. Чертежный инструмент "треугольник" - это железный равносторонний треугольник со стороной 1. Можно приложить треугольник к любой точке или к любому ранее проведенному отрезку и обвести контур треугольника. Также разрешается соединять отрезком две точки на расстоянии не более 1. Докажите, что с помощью треугольника можно разделить данный отрезок пополам. (Ю. М. Лифшиц)
4. На доске написано натуральное число. Первую цифру сложили со второй, вторую с третьей, и так далее, последнюю цифру сложили с предпоследней, после чего эти числа выписали в строчку без пробелов, сохраняя порядок. С полученным числом проделали такую же операцию, и так далее (например, из 1568 получается 61114, а из него, в свою очередь, 7225). Существует ли число, из которого такими операциями нельзя получить однозначное число? (А. Н. Переверзев)
5. Учительница дала отличнице Кате четыре положительных числа. Катя написала на доске числа 3, 4 и 7 и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трех из четырех данных ей чисел. Докажите, что Катя ошиблась. (Д. В. Карпов, СПб- 2000, 8 кл)
6. В выпуклом четырехугольнике KLMN лучи KL и NM пересекаются в точке P, а лучи LM и KN - в точке Q. Известно, что NK=LK, KP=KQ и /MPQ=28o. Найдите /PQM. (М. Я. Пратусевич, СПб район 2000)
7. Чебурашка и Шапокляк поедают ящик апельсинов. Первоначально в нем 100 хороших апельсинов и 50 гнилых. За один ход Шапокляк может либо съесть один хороший апельсин, либо заменить два хороших апельсина на два гнилых, Чебурашка может либо съесть два хороших апельсина, либо съесть один хороший и выкинуть один гнилой. Первым ходит Чебурашка. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (А. И. Храбров)
8. На острове Невезения 2000 жителей. Часть из них - лжецы, которые всегда лгут, а остальные - рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них знает, кем - лжецом или рыцарем - является любой другой житель острова, кроме его ближайшего соседа (одного, если таких соседей несколько). Приехавший корреспондент перенумеровал всех жителей острова, а потом провел социологический опрос, и каждый опрошенный, имевший порядковый номер k, сказал: "Я знаю, что на острове не менее k лжецов". Докажите, что на острове есть два рыцаря, один из которых - ближайший сосед другого. (О. С. Нечаева, И. С. Рубанов)
1. На шахматной доске 20*20 стоят несколько ладей, а на всех полях, которые ими не бьются, стоят кони. Никакие фигуры не бьют друг друга. Какое наибольшее количество коней может быть на доске?
2. Какие значения может принимать число х, если выполняются такие равенства: a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=x ? (Украина, 1987)
3. Десять гирь весом 1, 2, ..., 10 г разделили на две группы так, что в каждой группе больше одной гири. Докажите, что можно положить на одну чашу весов какие-то гири (одну или несколько) из одной группы, а на другую - какие-то гири из другой группы так, что весы окажутся в равновесии. (60, И.С. Рубанов, К.А. Кноп)
4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и AB=BC=BD. Докажите, что CD=CO (O - точка пересечения диагоналей). (Л. Э. Медников)
5. Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма остатков оказалось равна 39. Найдите остаток от деления этого числа на 3. (К. П. Кохась)
6. В клетках таблицы 100*100 расставлены попарно различные числа. Каждую минуту каждое из чисел меняется на наибольшее из чисел, стоящих в соседних с ним по стороне клетках. Могут ли через 4 часа все числа в таблице оказаться одинаковыми? (Украина, N593, вариант)
7. Все ученики математического кружка, кроме троих, учатся в 5 классе, все, кроме троих, учатся в шестом классе, и все, кроме двоих, семиклассники. Сколько всего человек занимается в этом кружке? (Жюри)
8. Написанное на доске число можно умножить или разделить на 5/6 или 9/10. Можно ли из 1 получить другое целое число? (А. Проскурников + жюри)
1. Третье тысячелетие начинается 01.01.2001 и заканчивается 31.12.3000. Сколько в нем есть дат, которые записываются ровно двумя различными цифрами? (К. А. Кноп)
2. Прямоугольный ящик 75*100*125 сантиметров разбит шестью разрезами на 27 отделений (для каждой пары противоположных граней ящика проведены два параллельных им разреза). При этом внутреннее отделение - куб со стороной 45 сантиметров. Найдите сумму объемов восьми отделений, примыкающих к вершинам ящика. (Р. А. Семизаров, К. А. Кноп)
3. В треугольнике провели средние линии. Оказалось, что медианы исходного треугольника делят пополам углы получившегося. Докажите, что исходный треугольник - равносторонний. (Н. Х. Агаханов)
4. Числа a, b>0 таковы, что a3+b6=a4+b9=a5+b12 Докажите, что a=b. (К. А. Кноп)
5. На микрокалькуляторе ТыкДык-2000 есть кнопки "+1", "+16", "-7" и "-23", причём калькулятор взрывается, как только в него попадает число, делящееся на 8. Докажите, что из числа 1 нельзя получить ровно за 2000 операций число 2001, не взорвав калькулятор. (Р. А. Семизаров)
6. Каждый из 38 попугаев завязал на удаве по одному узлу. Если сложить удава вдвое или втрое, то каждый узел попадет ровно на один другой. Докажите, что если удава сложить вшестеро, то какой-то узел попадет на сгиб. (Р. А. Семизаров)
7. В треугольнике АВС /А=45o, /В=60o. На продолжении стороны АВ за точку В отложен отрезок BD = 2AB. Найдите угол BDC. (К. А. Кноп)
8. Знайка взял на воздушный шар семь пакетов с песком (каждый из них весит целое число килограммов) общим весом 25кг. Незнайка, узнав об этом, тут же заявил, что при помощи двухчашечных весов он сможет определить вес каждого из этих пакетов. Прав ли он? (Р. Г. Женодаров, К. А. Кноп)
1. В алфавите языка племени МУМБО-ЮМБО всего две буквы А и Б. Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи некоторого числа таких операций: вычёркивания трёх подряд идущих букв А, вставки трех букв А в любое место, замены любого набора стоящих рядом букв АБА на набор стоящих рядом букв БААБ или обратной замены. Верно ли, что слово АББ...Б и слово ББ...БА (в каждом из этих слов буква Б встречается 2000 раз) означают одно и то же? (А. С. Штерн)
2. Найдите все пятизначные числа abcde, которые
делятся на abde. (Украина, 1982)
(Буквами a b c d e обозначены цифры
десятичной записи чисел)
3. В чемпионате по рыбной ловле участвовало несколько рыбаков. Известно, что победитель (поймавший наибольшее число рыб) поймал ровно в 4 раз меньше рыб, чем все остальные участники вместе взятые. Рыбак, занявший третье место, поймал ровно в 9 раз меньше, чем все остальные, а рыбак, оказавшийся на последнем месте, поймал ровно в 10 раз меньше, чем все остальные. Сколько рыбаков участвовало в соревновании? (С. Л. Берлов и С. В. Иванов, СПб район 2000)
4. Пусть M и N - середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Известно, что серединные перпендикуляры к MN, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что AB=CD. (С. Л. Берлов)
5. Остап Бендер дает сеанс одновременной игры 45 шахматистам, сидящим по кругу. Напротив некоторых из шахматистов стоят стулья. Остап садится на стул перед шахматистом, и, сделав ход, переходит к следующему по часовой стрелке шахматисту. При этом он передвигает стул, если перед следующим шахматистом стула нет. Все стулья одинаковы. Могло ли случиться так, что в течение 2000 ходов Остапа ни разу не повторилось расположение стульев и Остапа (считается, что за это время ни одна из партий не закончится) ?
6. Сумма 10 натуральных чисел равна 99. Найдите максимальное возможное значение их (всех десяти!) наибольшего общего делителя. (I>Киевская городская, 1979, 8 кл.)
7. Во дворе стоит 30 столбов, изначально между любыми двумя столбами натянут провод. Каждое утро по дороге в школу хулиган Вася срывает 29 проводов. Каждый вечер электрик Петров восстанавливает провода, отходящие от некоторого столба. Докажите, что Вася может действовать так, чтобы однажды утром после очередного акта вандализма осталось менее 30 проводов. (А. В. Пастор, СПб, 2000)
8. В записи 1999-значного числа использовано 1000 девяток, 998 двоек и одна семерка. После вычеркивания одной цифры это число стало делится на 7 без остатка. Какую цифру вычеркнули? (Р. Г. Женодаров)