было закрашено не меньше
двух клеток?
1. Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.
2. На острове рыцарей и лжецов живут 1999 человек. Во время социологического опроса каждый заявил: "Среди остальных островитян более половины - лжецы". Сколько лжецов живет на острове?
3. Докажите, что если дроби (a-b)/(c-d) и (a+b)/(c+d) равны между собой, то дробь (a+1999b)/(c+1999d) равна им обоим (при условии, что с+1999d не равно 0).
4. Два равных отрезка AB и CD перпендикулярны, причем точка C лежит внутри отрезка AB. Точка X такова, что треугольники XAD и XBC - равнобедренные с вершиной в X. Докажите, что эти треугольники - прямоугольные.
5. В клетках таблицы 6*6 как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 36. Докажите, что можно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была четна.
6. В группе из 100 человек некоторые знакомы друг с другом, причем каждый член группы знаком не менее, чем с 20 другими. Докажите, что можно выбрать 40 членов группы и разбить их на 20 пар так, что в каждой паре люди будут знакомы.
1. Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.
2. Целые числа a, b, c и d таковы, что (a-b)/(c-d)=(a+b)/(c+d). Докажите, что произведение abcd есть квадрат целого числа.
3. На острове рыцарей и лжецов живут 1999 человек. Во время социологического опроса каждый заявил: "Среди остальных островитян более половины - лжецы". Сколько лжецов живет на острове?
4. Квадрат 10*10 хотят покрыть квадратами 3*3 со сторонами, параллельными сторонам большого квадрата. Каким наименьшим числом квадратов 3*3 можно обойтись?
5. В клетках таблицы 6*6 как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 36. Докажите, что можно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была четна.
1. На стороне АС треугольника АВС взяли точку Е. Периметр треугольника АВС равен 25 см, периметр треугольника АВЕ - 15 см, периметр треугольника АСЕ - 17 см. Найдите длину отрезка ВЕ.
2. Как раскрасить клетчатый квадрат 7*7 по клеткам в красный и синий цвета, чтобы в каждом содержащемся в нем квадрате 3*3 синих клеток было на одну больше, чем красных?
3. Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.
4. На острове рыцарей и лжецов живут 1999 человек. Во время социологического опроса каждый заявил: "Среди остальных островитян более половины - лжецы". Сколько лжецов живет на острове?
5. Найдите все такие наборы целых чисел (a, b, c), для которых (3a-b)(3b-c)(3c-a) = 15015.
1. Компания ребят пошла в лес за грибами. В итоге каждый собрал меньше трети, но больше пятой части того, что собрали остальные. Сколько было ребят?
2. Микрокалькулятор "С-99" умеет производить только операции сложения, вычитания и взятия обратного числа (х --> 1/х), а также запоминать любое количество промежуточных результатов. Докажите, что с его помощью можно из любого рационального числа получить любое другое рациональное число.
3. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD взята точка O.
Докажите, что выполняется хотя бы одно из неравенств:
OA<AB, OB<BC, OC<CD,
OD<DA.
4. При каких натуральных n сумма цифр числа n! = 1*2*...*n равна 9?
5. Можно ли в клетчатом квадрате 12*12 покрасить 56 клеток так, чтобы
в любом "уголке" из пяти клеток было закрашено не меньше
двух клеток?
6. Квадрат разрезали на несколько треугольников так, что все углы этих треугольников различны (как лежащие в одном треугольнике, так и в разных). Могут ли все эти углы быть кратны углу в 10o ? (122б)
1. Компания ребят пошла в лес за грибами. В итоге каждый собрал меньше трети, но больше пятой части того, что собрали остальные. Сколько было ребят?
2. Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n! = 1*2*...*n равна 1999?
3. В центральной клетке таблицы 3*3 записан нуль. Двое по очереди записывают в оставшиеся клетки числа 1, 2, ..., 8, причем записывать одно число дважды запрещается. Первый стремится, чтобы в итоге сумма трех чисел в каком-то столбце, какой-то строке или на какой-то диагонали делилась на 9, а второй хочет ему помешать. Кто выиграет при правильной игре?
4. Микрокалькулятор "С-99" умеет производить только операции сложения, вычитания и взятия обратного числа (х --> 1/х), а также запоминать любое количество промежуточных результатов. Докажите, что с его помощью можно из любого рационального числа получить любое другое рациональное число.
5. Квадрат разрезали на несколько треугольников так, что все углы этих треугольников различны (как лежащие в одном треугольнике, так и в разных). Могут ли все эти углы быть кратны углу в 15o ?
6. Можно ли в клетчатом квадрате 12*12 покрасить 56 клеток так,
чтобы в любом "уголке" из пяти клеток было закрашено не
меньше двух клеток?