Скачать zip-архив этой страницы (olimp13.zip)
Скачать zip-архив файла в формате WinWord olimp13.doc (olimp13w.zip) с этой же информацией
1. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы". Сколько за столом лжецов?
2. Назовем натуральное число "куском", если оно получается выписыванием подряд чисел от 1 до какого-нибудь натурального n>1 (например, 123 или 123456789101112). Докажите, что произведение двух кусков - не кусок.
3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно такие, что AD/DB=BE/EC =2 и /ACB=2/DEB. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
4. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: 3/4 длины первой палочки или 2/3 длины второй палочки?
5. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней можно расположить на доске 7*7 так, чтобы они били все ее клетки?
6. Даны 9 различных чисел, которыми можно заполнить таблицу 3*3 так, что в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду сумма была одна и та же. Сколько всего таких таблиц можно получить, используя эти же числа?
1. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы". Сколько за столом лжецов?
2. Из одной точки проведены N лучей. Они разбивают плоскость на N углов. Если из этих углов взять любые 100, идущие подряд, то сумма их величин будет больше 18o, а если любые 111, идущие подряд, то сумма их величин будет меньше 20o. Чему может равняться число N? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.
3. АВС - равнобедренный прямоугольный треугольник (АВ=АС). На стороне ВС выбрана точка K. Из нее опущены перпендикуляры KL и KM на стороны АВ и АС соответственно. При каком положении точки K периметр треугольника KLM будет наименьшим? Ответ должен быть обоснован.
4. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: 3/4 длины первой палочки или 2/3 длины второй палочки?
5. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней нужно расположить на доске 7*7, чтобы они били все ее клетки?
1. В Украине сливочное масло стоит 12 гривней за кг, а в США - 1,89 доллара за полфунта. Сколько в фунте граммов, если в 1 долларе 3,6 гривней, а масло в Украине стоит в 2,5 раза дешевле, чем в США?
2. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Каждый сделал такое заявление: "Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним - лжецы". Сколько за столом лжецов?
3. Имеются две палочки. Разрешается прикладывать их друг к другу и делать отметки на любой из них. Как, используя только эти две операции, узнать, что больше: длина первой палочки или 2/3 длины второй палочки?
4. По кругу расставлены несколько чисел. Сумма всех чисел равна 360. Сумма любых 100 чисел, идущих подряд, больше 18, а сумма любых 111 чисел, идущих подряд, меньше 20. Сколько может быть чисел? Перечислите все возможности и объясните, почему других возможностей нет.
5. Быстрым конем называется фигура, один ход которой выглядит как два хода обыкновенного коня, сделанные подряд. Какое наименьшее число быстрых коней нужно расположить на доске 8*8, чтобы они били все ее клетки?
1. Докажите, что количество способов, которыми данное натуральное число можно представить в виде суммы нескольких (больше, чем одного) последовательных целых чисел, нечетно.
2. В Циссильвании 1999 жителей. Трое из них - вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь этими данными, м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
3. Найдите все такие тройки натуральных чисел (m,n,k), что 3m5n+1=4k.
4. В треугольнике АВС взята точка D таким образом, что /BDC=2/BAC. На отрезке CD выбрана такая точка Е, что BD+DE=AE. Докажите, что /АЕC = 2/ABC.
5. Квадратный ящик размером 8*8 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор: если поднести его к ячейке, то он покажет, находится ли радиоактивный шар в "кресте", образованном двумя рядами, пересекающимися в этой ячейке. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?
6. 999 литровых сосудов доверху заполнены раствором кислоты. Концентрация раствора в первом сосуде равна 0,1%, во втором - 0,2%, ... в 999-ом - 99,9%. Кроме того имеется неограниченное количество пустых сосудов емкостью в любое целое число литров. Разрешается переливать раствор из одного сосуда в другой до опустошения первого или наполнения второго. Удастся ли таким образом получить некоторое количество раствора концентрации (49+(199/1999))% ?
1. Фирма "Рога и копыта" изготавливает деревянные кубики со стороной 20 см. Материалы для изготовления одного кубика стоит 40 копеек (10 копеек - дерево, 30 копеек - лак для покрытия всей поверхности). Во сколько раз дороже обойдутся материалы для производства одного кубика со стороной 40 см?
2. Докажите, что количество способов, которыми данное натуральное число можно представить в виде суммы нескольких (больше, чем одного) последовательных целых чисел, нечетно.
3. У пяти семиклассников вместе - 60 рублей. У Алеши денег не больше, чем у Бори, у Бори - не больше, чем у Васи, у Васи - не больше, чем у Гриши, у Гриши не больше, чем у Димы. Сколько, самое большее, может быть денег у Васи и Гриши вместе?
4. Верно ли, что если натуральное число имеет 15 различных двузначных делителей, то у него есть трехзначный делитель.?
5. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взята точка D таким образом, что /BDC=2/BAC. На отрезке CD выбрана такая точка Е, что /АЕC=2/ABC. Докажите, что BD+DE=AE.
6. Квадратный ящик размером 8*8 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор: если поднести его к ячейке, то он покажет, находится ли радиоактивный шар в "кресте", образованном двумя рядами, пересекающимися в этой ячейке. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?