Условия задач.
1. Можно ли из четырех экземпляров фигурки, изображенной на рисунке, сложить квадрат?
2. Найдите все решения ребуса (A и B - две различные цифры): AAB+ABA+BAA=1998 .
3. Четыре человека сделали следующие утверждения:
А: Б, В и Г - мужчины;
Б: А, В и Г - женщины;
В: А и Б солгали;
Г: А, Б и В сказали правду.
Сколько из них на самом деле сказали правду?
4. И сказал Кащей Бессмертный Ивану Царевичу: "Сейчас я отмечу на числовой оси 101 целое число. После этого ты можешь сдвинуть все отмеченные точки на одно и то же целое расстояние в одном и том же направлении. Затем я найду абсолютную величину суммы получившихся чисел. Заплатишь мне столько рублей штрафу - отпущу с миром". У Ивана Царевича при себе имелось всего 50 рублей. Наверняка ли он сумеет откупиться?
5. Пятизначное число назовем неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трехзначных чисел. Какое наибольшее число неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?
1. Найдите все решения ребуса AAB+ABA+BAA=1998 (A и B - две различные цифры).
2. Четыре человека сделали следующие утверждения:
А: Б, В и Г - мужчины;
Б: А, В и Г - женщины;
В: А и Б солгали;
Г: А, Б и В сказали правду.
Сколько из них на самом деле сказали правду?
3. И сказал Кащей Бессмертный Ивану Царевичу: "Сейчас я отмечу на числовой оси 101 целое число. После этого ты можешь сдвинуть все отмеченные точки на одно и то же целое расстояние в одном и том же направлении. Затем я найду абсолютную величину суммы получившихся чисел. Заплатишь мне столько рублей штрафу - отпущу с миром". У Ивана Царевича при себе имелось всего 50 рублей. Наверняка ли он сумеет откупиться?
4. Некоторую точку, расположенную внутри треугольника, соединили со всеми его вершинами, при этом образовалось три равных треугольника. Докажите, что исходный треугольник - равносторонний.
5. Шестизначное число назовем неразложимым, если оно не раскладывается в произведение трехзначного и четырехзначного числа. Какое наибольшее число неразложимых шестизначных чисел может идти подряд?
6. На некоторых полях шахматной доски стоят столбики из шашек. За один ход разрешается переставить любой столбик на столько клеток по вертикали или горизонтали, сколько в нем шашек; при этом, если столбик попал на непустую клетку, он ставится на верх стоящего там столбика и объединяется с ним. Вначале на каждой клетке стоит по одной шашке. Можно ли за 63 хода собрать все шашки в один столбик?
1. Два кузнечика (большой и маленький) находятся на расстоянии 1998 м друг от друга. В 12 часов дня они начинают прыгать навстречу друг другу и все время прыгают в одном и том же направлении. Большой кузнечик прыгает на 9 м каждую нечетную секунду, а маленький - на 8 м каждую четную секунду (естественно, первым прыгает большой кузнечик). Окажутся ли кузнечики в некоторый момент времени в одной точке?
2. Найдите все решения ребуса XIXI-(XI)2=1998 (X и I - две различные цифры).
3. Пятизначное число назовем неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трехзначных чисел. Какое наибольшее число неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?
4. Точка D - середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана такая точка E, что угол BEA равен углу CED. Найдите отношение длин отрезков AE и DE.
5. Клетки полоски 1*n последовательно пронумерованы натуральными числами от 1 до n. Двое игроков делают ходы по очереди. За один ход разрешается зачеркнуть любую клетку полоски либо две соседние клетки, меньший из номеров которых - четный; при этом ни одну клетку нельзя зачеркивать дважды. Проигрывает тот игрок, который не сможет сделать очередной ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию (в зависимости от n)?
6. На некоторых полях шахматной доски стоят столбики из шашек. За один ход разрешается переставить любой столбик на столько клеток по вертикали или горизонтали, сколько в нем шашек; при этом, если столбик попал на непустую клетку, он ставится на верх стоящего там столбика и объединяется с ним. Вначале на каждой клетке стоит по одной шашке. Можно ли за 64 хода собрать все шашки в один столбик?
1. Деду Морозу сшили новый мешок для новогодних подарков. Этот мешок был точно рассчитан на 12 тигрят и 15 слонят, или на 10 слонят и 30 мартышек, или на 45 мартышек и 18 тигрят. А на сколько одних только тигрят рассчитан новый мешок Деда Мороза?
2. Найдите количество несократимых дробей с числителем 1997, больших, чем 1/2000, и меньших, чем 1/1000.
3. В черных углах шахматной доски стоят фишки. Двое по очереди ходят одной (любой) из них по следующим правилам: если фишка стоит на черном поле, то другая ходит как конь, а если фишка стоит на белом поле, то другая ходит как слон. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в белый угол. Может ли кто-нибудь из игроков обеспечить себе выигрыш, и если "да", то как?
4. Стороны треугольника - последовательные натуральные числа, а одна из его медиан перпендикулярна какой-то из его биссектрис. Найдите стороны этого треугольника.
5. Найдите наименьшее натуральное число n, такое, что сумма цифр числа n делится на 1998, а сумма цифр числа n+1 делится на 1999.
6. На плоскости даны три различные прямые, пересекающиеся в одной точке. Докажите, что на этой плоскости можно так провести через эту точку координатные оси, что в получившейся системе координат эти прямые будут графиками линейных функций, сумма угловых коэффициентов которых не больше 1 и не меньше -1.
1. Найдите количество несократимых дробей с числителем 1997, больших, чем 1/2000, и меньших, чем 1/1000.
2. В черных углах шахматной доски стоят фишки. Двое по очереди ходят одной (любой) из них по следующим правилам: если фишка стоит на черном поле, то другая ходит как конь, а если фишка стоит на белом поле, то другая ходит как слон. Выигрывает тот, кто первым поставит фишку в белый угол. Может ли кто-нибудь из игроков обеспечить себе выигрыш, и если "да", то как?
3. Существует ли девятизначное число, делящееся на 1998, все цифры которого четные?
4. Дан тупоугольный равнобедренный треугольник. На его основании и на одной из боковых сторон, как на диаметрах, построены окружности. Найдите углы этого треугольника, если расстояние между центрами построенных окружностей равно длине хорды, стягивающей точки пересечения этих окружностей.
5. На плоскости даны три различные прямые. Докажите, что на этой плоскости можно так провести координатные оси, что в получившейся системе координат эти прямые будут графиками линейных функций, сумма угловых коэффициентов которых не больше 1 и не меньше -1.
6. Докажите, что число способов, которыми из клетчатой доски n*n можно вырезать три клетки, не имеющие общих вершин, четно.