1. На разных концах пшеничного поля одновременно начали работать, двигаясь навстречу друг другу, два комбайна - "Дон" и "Енисей". Встретившись в 400 метрах от одного края поля, комбайны продолжили двигаться в тех же направлениях. Убрав пшеницу до конца своих полос, комбайны разворачивались и сразу же продолжали убирать поле в противоположных направлениях. В следующий раз они встретились в 99 метрах от другого края поля. Какова длина пшеничного поля?
2. Найдите все трехзначные числа, которое уменьшается в 13 раз при вычеркивании средней цифры.
3. Какое наибольшее число элементов содержит множество А, если оно имеет больше 19-элементных подмножеств, чем 98 элементных?
4. В кабинете директора, в котором проходят совещания, стоят стулья на 4 ножках и табуретки на 3 ножках. Когда все уселись, то свободных мест не осталось, а сумма количества ног у сидящих и ножек у сидений оказалось равной 39. Сколько в кабинете директора стульев и табуреток?
5. Поезд проехал переезд автотрассы шириной 5 метров за 5 секунд, а мимо перрона длиной 200 метров за 15 секунд, двигаясь вдвое медленнее. Какова длина состава?
6. 15 одинаковых шариков можно сложить в виде треугольника, но нельзя сложить в виде квадрата - одного шарика не хватает. Из какого количества шариков, не превосходящего 50, можно сложить как треугольник, так и квадрат?
7. Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 13, делится на 13 и имеет сумму цифр, равную 13.
8. Сколько имеется прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражаются целыми числами, если один из катетов этих треугольников равен 15?
9. Найдите правильную дробь, которая увеличивается в 3 раза, если ее числитель возвести в куб, а к знаменателю прибавить 3.
10. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 40 минут. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 10 минут. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль?
11. Костя и Олег пошли в гости к Игорю, но забыли трехзначный номер его квартиры. Олег помнил, что если прибавить к этому номеру 10, то получится полный куб, а Костя помнил, что если вычесть из номера квартиры число 10, то получится полный квадрат. В какой квартире живет Игорь?
12. Найдите восемь последовательных целых чисел, сумма первых трех из которых равна сумме остальных пяти.
13. Запишите арифметическое выражение (32+1)*(34+1)*...*(31024+1) без скобок и многоточий.
14. Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы получить трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?
15. Сколько всего натуральных делителей у числа 101998?
1. Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, состоящих из цифр 1,2,3,4.5.6,7,8,9 (без повторений).
2. Какое наибольшее количество месяцев одного года могут иметь по пять пятниц?
3. Треугольник разрезали на два многоугольника прямолинейным разрезом, один из полученных многоугольников вновь разрезали на два и т. д. Какое наименьшее количество разрезов следует произвести, чтобы общее количество вершин у полученных многоугольников стало равным 1998?
4. В трех ящиках лежат орехи. В первом на 99 орехов меньше, чем в двух других вместе, во втором - на 19 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов лежит в третьем ящике?
5. Из пункта А в пункт Б и из пункта Б в пункт А одновременно выбежали два спортсмена. Когда первоначальное расстояние между ними сократилось на 15 км, то первому из спортсменов осталось бежать до пункта Б в три раза большее расстояние, чем между ними в это время, а второму - в полтора раза больше, чем он пробежал. Каково расстояние между пунктами?
6. Все натуральные числа от 1 по 1000 разбиты на две группы: четные и нечетные числа. Определите, для какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше, и на сколько?
7. В прямоугольном треугольнике наименьшая высота вчетверо короче гипотенузы. Чему равны углы треугольника?
8. При умножении пятизначного натурального числа на девять получилось число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите все такие числа.
9. В ящике лежат 1996 белых шаров, 1997 красных шаров и 1998 синих шаров. Какое наименьшее число шаров нужно взять из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди взятых шаров наверняка были шары всех цветов?
10. Найдите все натуральные числа, которые при удвоении записываются теми же цифрами, что и квадраты этих чисел, только в обратном порядке.
11. Четверо бизнесменов участвовали в соревновании на звание самого лучшего. Первый, четвертый и третий бизнесмены вместе заработали в четыре раза больше второго, второй, третий и четвертый бизнесмены вместе заработали в три раза больше первого. И, наконец, первый, второй и третий бизнесмены вместе заработали в два раза больше четвертого. Кто на каком месте оказался в этом соревновании?
12. Квадраты натуральных чисел выписаны в ряд: 149162536... Какая цифра стоит на 1998 месте?
13. Сколькими способами можно выбрать черную и белую клетки шахматной доски 8*8, не имеющих общей стороны?
14. Найдите самое большое натуральное число, у которого каждая внутренняя цифра записи больше полусуммы двух рядом стоящих с ней цифр.
15. В магазине есть на равную сумму конфеты по 10 и 40 рублей за килограмм. По какой цене надо продавать килограмм смеси этих конфет, чтобы сохранить такую же выручку?
16. При каком наименьшем натуральном n каждая из дробей 7/(n+9), 8/(n+10), ..., 1996/(n+1998) несократима?
17. В первом сосуде находилось 100 г 10% раствора сиропа, во втором сосуде - 200 г 20% раствора этого же сиропа и так далее, в 10 сосуде находилось 1000 г 100% раствора сиропа. Все сосуды с сиропом слили в один самый большой сосуд. Каково процентное содержание полученного таким образом раствора?
18. В некотором четырехзначном числе, в записи которого использованы различные цифры, переставили цифры в обратном порядке, и полученное таким образом четырехзначное число вычли из первоначального. Получилось число, записанное снова теми же (в каком-то порядке) цифрами. Найдите наименьшее такое число.
19. Разрежьте квадрат на три части так, чтобы из них можно было сложить тупоугольный треугольник.
20. При каких целых значениях переменной х выражение (31x+13)/(31-13x) принимает целые значения? Найдите все такие значения.
21. В одной из вершин клеток клетчатого квадрата 4*4 клеток сидит таракан. По команде он начинает движение по сторонам клеток, поворачивая в каждой вершине на 90o . Какое наибольшее число вершин клеток квадрата (включая стартовую) он может посетить, если при движении таракана они не должны повторяться?
22. Плоскость разбита на квадраты площадью 100 см2. Как с помощью одной линейки нужной длины без делений получить квадрат площадью 81 см2?
23. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на n, а вторую и третью цифры уменьшить на n, то полученное число будет в n раз больше исходного. Найдите число n и исходное число.
24. На окружности лежат 1998 точек. Какое наибольшее число непересекающихся хорд можно провести через них (хорды, имеющие общую вершину, считаем непересекающимися)?