Московский турнир математических боёв

12 ноября 2000 года

Правила

(Обратите внимание на то, что они изменились по сравнению с прошлым учебным годом.)

Очередной турнир планируется провести осенью 2001/2002 учебного года.

Результаты

N п/пКлассыНомер школы, гимназии, ...ГородВариантСчётКапитан командыЖюри
11057МоскваСА36Притыкин ЮрийПодлипский О., Челноков Г.
2112Москва22Тищенко Сергей
3102МоскваСА16Гонгальский МаксимКанель А. Я., Андреева А. Н., Балабанов А. И.
410,115г. Долгопрудный29 
5111543МоскваСА51Мусатов ДаниилКожевников П. А., Замятин В.
6111511Москва7Съедин Юрий
7101511МоскваСБ24Ларионов ВиталийВолк Д., Карпов А.
810218Москва56Филимонов Дмитрий
910лицейг. ФрязиноСБ29 Кочетков К. П., Кочагин В., Горкина Т. Б.
10102Москва65Карапетян Нарине
1110,111260МоскваСБ38 Горчинский С., Кутузова Т.
1210,11Лицей посольства Франции в РФ47,5 
13112МоскваСБ43Каплан СтаниславТрушин Б., Иванищук А. В.
1411лицей г. Фрязино30 
15101543МоскваСБ20Бурилич ЮрийГалкин С., Семенов А. В.
1610,111018Москва29 
17111543МоскваСБ36ВершининЛарин В., Шамсутдинов К.
18111557Москва (Зеленоград)29 
198218МоскваМБ51 Алферов Р., Френкин Б.Р.
208лицей г. Фрязино39 
218444МоскваМБ35 Кафаров Г., Клепцин В.
2291523Москва45 
23879МоскваМБ0 Хакимова Г., Хакимова Д.
2491557Москва84 
258,9Лицей посольства Франции в РФМБ28 Сосинский А. Б., Кулакова Н.
26917Москва28 
2792МоскваМА37Петухов АлексейБогданов
28991Москва21Татузов Алексей
2982МоскваМА72Сальников НиколайЗаславский
3085г. Долгопрудный6Стариковская Таня
3192МоскваМА37Коваль ДмитрийКоровин, Сысоева
329муниципальная гимназияг. Раменское54Капустюк Павел
3395г. ДолгопрудныйМА41 *Нелюбина НаташаГладкова, Князев
3491543Москва42 *Колодкина Наталья
358муниципальная гимназияг. РаменскоеМА14Савченко РусланИванова, Захарова
3681543Москва41Миронов Павел
3782МоскваМБ44Сарычев ИванГуровиц, Денисова
388,9870Москва34Королев Константин
3991101МоскваМБ
МА
90 **Николаев АлександрМаксимов, Федотова
4092Москва28 **Эйделанд Павел
4182МоскваМБ52Лущенко НикитаХачатурян, Пронина
4281018Москва32Олейниченко Евгений
4375г. Долгопрудный7 КЛ35Козлов ИльяМазин М., Кондаков Г., Ройзнер Ю.
447МММФ ауд. 1403Москва38Москва Владимир
4571101Москва7 КЛ27Поляковский ИльяБлинков Ю. А., Тен А. С.
467МММФМосква32Стрелков Сергей
477218Москва7 КЛ18Цепелева АннаРойзнер Ю., Левицкий А.
487МММФМосква67Петров Андрей
497218Москва7 КЛ24Харитонова ЕленаТрушков В., Зуев А.
5071018Москва10Мазинина Анна
51749Москва7 КЛ39Загрядский ОлегСпивак А, Каратассо Ю.
52757Москва37Кондакова А.

* - жюри допустило ошибку при начислениии балов при проверке корректности вызова.
** - командам по ошибке были выданы разные варианты.

10-11 классы. Вариант А

1. Найдите все квадратные трехчлены P(x) с таким свойством: если натуральное число x записывается одними единицами, то и P(x) - натуральное число, которое записывается одними единицами.

2. Английские шашки отличаются от русских тем, что дамка может ходить по диагоналям в любую сторону, но только на одну клетку. Пусть у обоих противников осталось лишь по одной дамке. Как закончится игра? Может ли она продолжаться бесконечно?

3. Дано (p-1) натуральных чисел, не делящихся на простое число p (p>2). Докажите, что между ними можно расставить знаки + и - так, что полученная алгебраическая сумма будет делиться на p.

4. Отрезки AB, CD, EF пересекаются в одной точке. Точка E принадлежит отрезку AC, а точка F - отрезку BD. Докажите, что EF не длиннее хотя бы одного из отрезков AB и CD.

5. Докажите трехмерную теорему косинусов: квадрат площади основания тетраэдра равен сумме квадратов площадей боковых граней минус сумма удвоенных попарных произведений площадей боковых граней на косинусы углов между ними.

6. Найдите все a, для которых существуют неотрицательные x1, ..., xn такие, что
S kxk=a, S k3xk=a2, S k5xk=a3.

7. Квадрат со стороной 1 разбит на 100000 квадратиков. Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающих главную диагональ, быть больше 2000?

8. Дано (3n-1)/2 монет, из которых одна фальшивая. Остальные монеты одинаковы по весу, а фальшивая отличается. Докажите, что фальшивую монету можно найти n взвешиваниями на весах без гирь. (Не требуется определять, легче или тяжелее фальшивая монета, чем остальные.)

9. В таблице 20*20 расставлены числа +1, -1 и 0, причем сумма всех чисел равна 0. Докажите, что найдутся такие две строки и два столбца, что сумма четырех чисел в их пересечении равна 0.

10. Пусть k - натуральное число, p - простой делитель числа k2+1. Докажите, что
|p-1 |
Scos(2pn2/p)=p1/2
n=0

10-11 классы. Вариант Б

1. Из квадрата 7*7 вырезали одну клетку. Всегда ли оставшуюся часть можно разрезать на один прямоугольник 1*3 и несколько уголков из трех клеток?

2. Дома Винни-Пуха и восьми его друзей расположены в вершинах выпуклого многоугольника. Дальше всех от дома Винни-Пуха живет Кролик - до его дома 750 метров. Может ли Винни-Пух обойти всех своих друзей и вернуться домой, пройдя при этом менее 4 км?

3. На всемирном фестивале военно-морской песни делегация каждой страны должна была исполнить три песни. Каждая делегация, дождавшись своей очереди и исполнив свои три песни, уезжает с фестиваля. Организаторы обнаружили, что каждая из песен оскорбительна для одной из стран-участниц фестиваля. Докажите, что можно так установить порядок исполнения, чтобы ни одной делегации не пришлось выслушивать более трех оскорбительных для нее песен.

4. Существует ли квадратный трехчлен P(x) с таким свойством: если натуральное число x записывается одними единицами, то и P(x) - натуральное число, которое записывается одними единицами.

5. Шахматная фигура "черепаха" может ходить на одну клетку по горизонтали и по вертикали. На шахматной доске стоят черная и белая черепахи. Они ходят по очереди (начинает белая). Побеждает та, которая съест другую. Как закончится игра? Может ли она продолжаться бесконечно?

6. Дано, что sin(2001x)=a. Какое максимальное число значений может принимать sin x ?

7. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются его сторон в точках A', B', C'. Точка A лежит на окружности, описанной около треугольника A'B'C'. Докажите, что вторая точка пересечения этой окружности со стороной BC является основанием высоты, опущенной на эту сторону.

8. Докажите, что число 222000-1 имеет не менее 2000 различных простых делителей.

Примечание: некоторые браузеры некорректно отображают индексы к индексам. В этом случае задачу можно сформулировать так:

Докажите, что число 2n-1, где n=22000, имеет не менее 2000 различных простых делителей.

9. На плоскости отмечено 100 различных точек. Всегда ли можно разбить их на пары и соединить точки в парах отрезками, чтобы любые два отрезка пересекались?

10. Найдите объем тела, состоящего из всех точек, расстояние которых от поверхности единичного куба не превосходит 1.

8-9 классы. Вариант А

1. Многоугольник разрезали на части и сложили выпуклую фигуру. Докажите, что получился многоугольник. (Все разрезы - прямолинейные отрезки или дуги окружностей.)

2. Каждые два из n городов соединены прямым авиационным или железнодорожным сообщением. Из каждого города можно и улететь на самолете, и выехать на поезде. Докажите, что найдется четыре города A, B, C, D таких, что A с B и C с D соединены авиарейсами, а B с C и D с A - поездами.

3. Из четырех отрезков различной длины составляются трапеции. Какое наибольшее число неравных трапеций может получиться?

4. В треугольнике ABC на медиане BM взяли точку D и построили треугольник CDE, в котором DE||AB, CE||BM. Докажите, что AD=BE.

5. Имеются бриллианты общей стоимостью в миллион долларов. Известно, что их можно разделить на 5 групп, равных по стоимости. Их можно разделить и на 8 таких групп. Какова наибольшая возможная стоимость самого маленького бриллианта?

6. Последнюю цифру натурального числа переставили в начало, и оно увеличилось в три раза. Найдите все такие числа.

7. На всемирном фестивале военно-морской песни делегация каждой страны, дождавшись своей очереди и исполнив три песни, уезжает с фестиваля. Оказалось, что каждая из песен оскорбительна для одной из стран. Докажите, что можно так установить порядок исполнения, чтобы ни одной делегации не пришлось выслушивать более трех оскорбительных для нее песен.

8. Докажите, что если
0 < x1, ..., x2001 < p/2,
sin x1 = cos x2, sin x2 = cos x3, ..., sin x2001 = cos x1,
то x1=x2=...=x2001.

9. Дана куча из 2000 камней. Первый игрок делит ее на две кучи (в каждой - хотя бы по одному камню). Затем второй игрок делит на две каждую из полученных куч, если только она содержит более одного камня, и т.д. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?

10. Дан квадратный трехчлен с целыми коэффициентами P(x). Докажите, что существует такое натуральное k, что при любом натуральном x среди чисел P(x), ..., P(x+k) есть составные.

8-9 классы. Вариант Б

1. На шахматной доске 8*8 стоят ладьи - по одной на каждой вертикали и каждой горизонтали. Доску разбили на 4 равных квадрата. Докажите, что число ладей в правом верхнем квадрате равно числу ладей в левом нижнем квадрате.

2. В АО "Елки-палки" 2000 акционеров, причем любые 1111 из них имеют контрольный пакет (не менее 50 процентов акций). Какова наибольшая возможная доля одного акционера?

3. Вася отметил на плоскости точку симпатическими чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить на плоскости прямую и узнать у Васи, по какую сторону от прямой находится точка. Сколько вопросов ему потребуется, чтобы узнать, находится точка внутри квадрата или вне его?

4. В ряд посажено 21 дерево, среди которых есть дубы. К каждому дереву прибита табличка, на которой указано количество дубов среди следующих деревьев: дерева, на котором висит табличка, и его соседей. Можно ли по числам на табличках определить, какие из деревьев - дубы?

5. Дана полоска 1*20, на крайних клетках которой стоят черный и белый шахматные короли. Они ходят по очереди (начинает белый). Проигрывает тот, кто вынужден стать рядом с другим королем. Кто выиграет при правильной игре?

6. Сколько корней имеет уравнение

|||||x|-1|-2|-4|-8|=0 ?

7. Докажите, что если x2+y2 делится на x+y, то и x4+y4 делится на x+y (естественно, x и y - натуральные числа).

8. Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки H и K соответственно так, что KA=AB и HC=CB. Докажите, что треугольник KDH - равнобедренный.

7 классы.

1. Вася и Петя играют в следующую игру. Сначала имеется число 1. Первым ходом его можно умножить на любое число от 2 до 9 включительно. Следующим ходом получившееся число умножается на любое число от 2 до 9, и т. д. Ходы делаются по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000. Начинает Вася. Кто выиграет при правильной игре?

2. На столе стоят девять сосудов с водой. Вместимость каждого из сосудов достаточно велика. За один "шаг" можно из любого сосуда перелить в любой другой сосуд столько воды, сколько во втором уже имеется, если в первом сосуде для этого хватает воды. Можно ли за какое-то количество "шагов" перелить воду из всех сосудов в один, если первоначально в каждом сосуде было по 2 литра воды?

3. Вася отметил на плоскости точку симпатическими чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить на плоскости прямую и узнать у Васи, по какую сторону от нее находится точка. Какое наименьшее количество вопросов он должен задать Васе, чтобы узнать, находится точка внутри квадрата или вне его?

4. Какие числа можно поставить вместо знака * в текст задачи: "На плоскости даны n различных прямых, пересекающиеся в * точках. Найдите значение n.", чтобы эта задача имела единственное решение?

5. Сколько существует натуральных трехзначных чисел, в десятичной записи которых ровно две цифры равны между собой?

6. На планете "Куб" (имеющей форму куба) каждой гранью владеет рыцарь (который всегда говорит правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый из них утверждает, что большая часть его соседей - лжецы. Сколько рыцарей и сколько лжецов владеют гранями планеты?

7. На плацу стоит шеренга солдат. Если из шеренги выйдет каждый третий, а затем - каждый пятый из оставшихся, то в ней останется на одного солдата меньше, чем, если сначала выйдет каждый пятый, а потом - каждый третий из оставшихся. Сколько солдат могло стоять в шеренге?

8. В восьми вазах лежат конфеты: в первой - одна, во второй - две, в третьей - три, ..., в восьмой - восемь конфет. Маша съедает каждый день ровно k конфет (k - натуральное число), причем из каждой вазы берет не более одной конфеты. Найдите все значения k, при которых Маша сможет съесть все конфеты.