Команда Москвы на Всероссийской математической олимпиаде 2000

Опубликовано 24.03.2000 17:13

Состав команды | Московский отборочный тур: | 9 класс | 10 класс | 11 класс

Олимпиада состоится в городе Казань с 12.04.2000 по 18.04.2000 .

В команду включались школьники, обучающиеся на территории г. Москвы и удовлетворяющие хотя бы одному из следующих условий:

Имеющие персональные приглашения по результатам выступления на Всероссийской математической олимпиаде 1998/1999 учебного года (дипломы 1 и 2 степени).
Получившие первые премии на 63 Московской математической олимпиаде.
Имеющие наилучшие результаты по совокупности выступлений на 63 Московской математической олимпиаде и московском отборочном туре.

Состав команды г. Москвы на Всероссийской математической олимпиаде - 2000

N	Фамилия, имя	класс	школа	основание	результат
1.	Притыкин Юрий	9	57	1-я премия на 63 ММО	-
2.	Карпова Татьяна	9	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
3.	Митричев Пётр	9	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	диплом 2 степени
4.	Позовной Олег	9	2	результаты 63 ММО и отборочного тура	похвальная грамота
5.	Ермаченко Александр	9	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
6.	Булычёв Пётр	9	2	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
7.	Ломаев Сергей	9	2	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
8.	Маргулис Даниил	9	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
9.	Рыжов Дмитрий	9	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
10.	Филимонов Дмитрий	9	218	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
11.	Межиров Илья	10	57	персональное приглашение	диплом II степени
12.	Гусев Глеб	10	57	персональное приглашение	похвальная грамота
13.	Горский Евгений	10	57	персональное приглашение	диплом III степени
14.	Мусатов Даниил	10	1543	персональное приглашение	диплом III степени
15.	Акопян Арсений	10	2	персональное приглашение	диплом II степени
16.	Клименко Алексей	10	57	1-я премия на 63 ММО	диплом III степени
17.	Румянцев Андрей	10	18	результаты 63 ММО и отборочного тура	не участвовал
18.	Горбачёв Алексей	10	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	похвальная грамота
19.	Сажин Виктор	10	710	результаты 63 ММО и отборочного тура	похвальная грамота
20.	Виноградов Дмитрий	10	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
21.	Лапшин Виктор	10	1303	результаты 63 ММО и отборочного тура	диплом III степени
22.	Пальвелёв Роман	10	1543	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
23.	Подольский Владимир	10	54	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
24.	Теннова Наталия	11	57	персональное приглашение	похвальная грамота
25.	Агапов Андрей	11	57	персональное приглашение	-
26.	Скопенков Михаил	11	18	персональное приглашение	диплом III степени
27.	Вабищевич Николай	11	752	1-я премия на 63 ММО	-
28.	Жгун Владимир	11	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
29.	Зарубина Анна	11	57	результаты 63 ММО и отборочного тура	-
30.	Шарич Владимир	11	18	результаты 63 ММО и отборочного тура	диплом III степени

Московский отборочный тур на Всероссийскую математическую олимпиаду - 2000

Москва, МЦНМО, 20.03.2000

9 класс

1. а) Дана конечная последовательность нулей и единиц. Разрешается делать такие замены: 10 -> 001. Может ли процесс продолжаться до бесконечности?

б) Тот же вопрос, если разрешается делать замены 10 -> 001 и 10 -> 011.

2. Можно ли разрезать круг на 7 равновеликих частей тремя прямолинейными разрезами?

3. Четырехугольник ABCD - вписанный, K - середина той дуги AD, где нет других вершин четырехугольника. Пусть X и Y - точки пересечения прямых BK и CK с диагоналями.Докажите, что XY параллельна AD.

4. Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. Решите уравнение: S(n⁴)=S⁴(n).

5. Докажите, что при любых натуральных m,n (mn)!² делится на (m!)ⁿ⁺¹ (n!)^m+1.

6. Поверхность куба с ребром целочисленной длины n разрезана на единичные квадраты. Через центры всех этих квадратов проведена замкнутая несамоперекающаяся ломаная (ее звенья параллельны ребрам куба). Ломаная делит поверхность куба на две части. Сколько различных (по абсолютной величине) значений может принимать разность площадей этих частей?

10 класс

1. Существуют ли такие непрерывные функции f(x), g(x), что для любого вещественного x f(g(x))=arctg x, g(f(x))=arcctg x ?

2. Можно ли на клетчатой бумаге начертить замкнутую 2001-звенную ломаную, все вершины которой находятся в узлах сетки, а все звенья имеют равную длину?

3. В каждой из двух таблиц n*n расставлены числа от 1 до n². Докажите, что либо можно указать два числа, которые в одной таблице стоят в одной строке, а в другой - в одном столбце, либо одна таблица получается из другой путем перестановки чисел сначала в строках, а потом в столбцах.

4. Треугольник ABC разбит биссектрисами на 6 треугольников, и в каждый из них вписана окружность. Четыре из этих окружностей равны. Докажите, что треугольник ABC - равносторонний.

5. Пусть y > 0, x¹⁹⁹⁹+y²⁰⁰⁰ > x²⁰⁰⁰+y²⁰⁰¹. Докажите, что x+y < 2.

6. Раскраска вершин графа называется правильной, если любые две соседние вершины имеют разный цвет. Докажите, что для каждого данного графа число способов правильной раскраски в k цветов при достаточно больших k есть многочлен от k.

11 класс

1. Непрерывная функция f(x) такова, что при любом вещественном x f(f(x))=-x². Докажите, что при любом x f(x) < 0.

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, AD и BC в точке Q, диагонали в точке O. Докажите, что если угол POQ прямой, то:

а) прямые OP и OQ - биссектрисы углов между диагоналями;

б) KL*MN = KN*ML, где K,L,M,N - основания перпендикуляров, опущенных из O на AB, BC, CD, DA.

4. Пусть куб с ребром целочисленной длины k разбит на единичные кубики, и в некоторых из них стоят ладьи (они могут ходить параллельно любому ребру куба). Упаковку ладей назовем плотной, если ладьи не бьют друг друга и их k² штук. Пусть дан куб C с ребром длины 2ⁿ и плотная упаковка ладей в нем. В кубе C отмечена вершина A. Рассмотрим содержащиеся в C кубы с вершиной A, составленные из единичных кубиков и имеющие плотную упаковку ладей. Каково наибольшее возможное число таких кубов?

5. Дана последовательность чисел: a₀=1; a_n+1=a_n+S(a_n), где S(k) - сумма цифр числа k. Докажите, что для бесконечно многих k
S(a_k) < lg(lg(lg a_k)).

6. Какое наименьшее число ребер может быть в графе с 2000 вершин, если среди любых 10 вершин хотя бы одна соединена с остальными 9?