10 Турнир Архимеда.

Задачи заочного конкурса для 6-7 классов 1999-2000 уч. года

Оргкомитет Турнира Архимеда совместно с редакцией приложения "Математика" газеты Первое сентября объявляет конкурс решения задач для учащихся 6-7 классов.

Победителей конкурса ждут призы редакции приложения и Оргкомитета Турнира Архимеда. Решения просим выслать до 20 марта 2000 г. (по почтовому штемпелю) по адресу: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, редакция приложения "Математика", с пометкой на конверте: "Турнир". В письмо следует вложить конверт с маркой (и адресом школьника) - в нём будут высланы результаты проверки. В письме должен быть указан номер школы и класс.

Условия задач.

1. Легче, тяжелее или ...? Известно, что из 40 монет две фальшивые (одна из фальшивых монет весит несколько больше настоящей, другая - несколько меньше, все настоящие монеты весят одинаково). Можно ли за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь, выяснить что больше: вес двух фальшивых монет или двух настоящих, или же эти веса равны?

2. Как выгоднее? В каком случае вкладчик получит больше денег: если банк начисляет доход в 12% раз в год или если он начисляет 1% раз в месяц?

3. Кони на доске. Какое наибольшее число шахматных коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

4. Каких чисел больше? У каждого из чисел от 1 до 199920002001 вычислили сумму цифр. У получившегося числа снова вычислили сумму цифр. И так далее до тех пока не получились однозначные числа. Каких чисел получилось больше 1 или 9?

5. Каркас из проволоки. Можно ли из 199 кусков проволоки, длины которых равны соответственно 1, 2, 3, ..., 199 см сделать
а) каркас куба;
б) каркас прямоугольного параллелепипеда?

6. Тринадцатая цифра. Перемножили все натуральные числа 1 до 50. Найдите тринадцатую цифру полученного произведения (справа!).

7. Автобусный маршрут. По шоссе между пунктами A и B курсирует с постоянной скоростью автобус. Известно следующее:
1) Пункты C, D и E расположены на шоссе между A и B;
2) Автобус останавливается только в A и B (на 3 мин);
3) В 9.08 автобус проехал мимо C по направлению в B;
4) В 11.28 автобус выехал из A;
5) В 13.16 автобус приехал в B;
6) В 14.04 автобус проехал мимо C по направлению в B;
7) Наблюдатель в D не видел автобусов в течении 54 мин;
8) Наблюдатель в E видел 2 автобуса в течении 20 мин;
Как расположены на шоссе пункты A, B, C, D и E?

8. Точки и окружности. На плоскости расположено 200 точек. Существует ли окружность, внутри которой расположено ровно
а) 3;
б) 100 точек?