Математическая регата 11 классов 16.12.2000

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 2000/2001 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Решите систему уравнений:
{xy = 1;
x + y + cos2 z = 2

1.2. Существует ли пирамида, для которой найдутся ровно семь плоскостей, каждая из которых равноудалена от всех вершин пирамиды?

1.3. Сколько существует натуральных n таких, что 2000 < n1/2 < 2001?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Решите уравнение: x2 - 5x - 4x1/2 + 13 = 0.

2.2. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника.

2.3. Написано уравнение: ... x3 + ... x2 + ... x + ... = 0 без коэффициентов. Двое по очереди ставят коэффициенты (действительные числа). Второй игрок стремится к тому, чтобы хотя бы один корень уравнения был целым. Может ли первый ему в этом помешать?


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Р(x) = x3 - 6x2 + 12x - 7. Укажите какую-нибудь прямую, на которой график Р(x) отсекает равные отрезки.

3.2. АВСА1В1С1 - прямая треугольная призма. Ее сечение ВСА1 имеет площадь Q. Найдите объем призмы, если расстояние от С1 до плоскости этого сечения равно h.

3.3. При каких натуральных n число A = 1313...13 (всего 2n цифр) делится на 63?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. При каких значениях а система уравнений
{2|x| + |x| = y + x2 + a;
x2 + y2 = 1
имеет единственное решение?

4.2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A - прямой, E - точка пересечения диагоналей, точка F - основание перпендикуляра, опущенного из E на сторону АB. Найдите /CFE, если /DFE = a.

4.3. Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: 1; (3; 5); (7; 9; 11); (13; 15; 17; 19): Чему равна сумма чисел в n-ой группе?


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Р(x) = (x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) . Найдите сумму коэффициентов при четных степенях Р'(x).

5.2. В треугольнике ABC: /C = 10o, /B = 20o. Вне треугольника выбрана точка M так, что треугольник CMB - правильный (точки M и А лежат в разных полуплоскостях относительно ВС). Найдите /MAB и /MAC.

5.3. Не используя микрокалькулятор, сравните значения выражений: arcsin(arccos m) и arccos(arcsin m), если m = (sin 1 + cos 1)/2 .


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVVСумма
баллов
Место
123123123123123
666777377385400763-4
1060173000101002014-15
4010000101024001317
17 0060102001004001416
109 606770677682190725
218 606077374378490716-7
429 3017700000020002014-15
1189А3064707702000003613
1189Б666777377186180802
1511А506700772178990688
1511Б606777170188990763-4
1514А601777107880440609
1514Б6067000070069905011
1523 6063702712029004512
1534А6067774177000405610
1534Б606777357280490716-7
1543 606777777888940911