Срок присылки решений - до 1 апреля 2000 года.
Адрес: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, приложение "Математика" к газете "Первое сентября". Заочный Турнир Архимеда.
Координатор - Чулков Павел Викторович, школа N 109, методист НМЦ Юго-Западного округа.
Телефоны: 434-51-06, 434-51-07 (р), 939-40-38 (д). E-mail: chulkov@logic.ru
1. Двузначные числа. Найдите все двузначные числа, каждое из которых на 6 меньше суммы квадратов своих цифр.
2. Большая шахматная доска. Можно ли расставить на шахматной доске 2000*2000 крестики и нолики (в каждой клетке ровно один символ!), чтобы ни на одной диагонали, вертикали или горизонтали нельзя было встретить три крестика или три нолика подряд?
3. Известная задача. Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора Витя сорвал с Пети шапку и бросил ее на встречный эскалатор. Петя побежал вверх, чтобы затем спустится вниз и вернуть шапку. Витя побежал по вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят постоянны и равны?
4. Не производя вычислений. В равенстве 10910=23673**67459211723401 замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство. Решите задачу, не умножая число 109 само на себя.
5. Экспертиза. Среди 15 монет, выглядящих одинаково, имеется одна фальшивая, отличающаяся по весу от всех остальных и одна заведомо настоящая - "стандартная" (лежит отдельно). Можно ли за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь обнаружить фальшивую монету?
6. На олимпиаде были даны три задачи А, B и С. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Среди школьников, не решивших задачу А, решивших B, в два раза больше, чем решивших С. Школьников, решивших только задачу А, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу А. Сколько школьников решили только задачу B, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу А?
7. Счастливые билеты. Будем считать, что автобусный билет имеет шестизначный номер, а счастливый билет это тот, у которого сумма первых трех цифр равна сумме трех остальных. Сколько всего счастливых билетов?
8. Гнезда в патроне электронной лампы равномерно расположены по окружности и занумерованы числами от 1 до 100. Можно ли так занумеровать штырьки в лампе (числами от 1 до 100), чтобы при любом включении лампы в патрон хотя бы один из штырьков обязательно попадал в гнездо со своим номером?