Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 1999/2000 уч. г.
Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).
1.1. Сколько корней имеет уравнение:
1.2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Прямые AC и BD
пересекаются в точке P, а прямые AD и BC - в точке Q. Докажите, что
AB | PQ.
1.3. Запишите наибольшее десятизначное число, кратное семи, все цифры
в десятичной записи которого различны.
Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).
2.1. Найдите значение выражения:
2.2. В равнобокую трапецию с длинами оснований 8 см и 18 см вписана
окружность. Найдите ее радиус.
2.3. Сто сумасшедших последовательно красят доску 100*100 в сто
цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не
может оказаться двух клеток, раскрашенных одинаково. Смогут ли 99 сумасшедших
правильно докрасить доску, если первый сумасшедший уже раскрасил "свои" сто
клеток?
Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).
3.1. Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка - булочку,
то они вместе потратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил
булочку, а каждая девочка - пирожок. Цена пирожка и цена булочки различаются
больше, чем на 50 копеек. Известно также, что мальчиков больше, чем девочек.
На сколько? Что дороже, пирожок или булочка, и на сколько?
3.2. Две противоположные стороны АВ и CD выпуклого четырехугольника
ABCD лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами сторон ВС и
AD равно 5. Найдите расстояние между серединами диагоналей АС и BD.
3.3. Можно ли на доску 5*5 поставить три шахматных коня так, чтобы
они "били" все незанятые ими клетки?
Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).
4.1. При каких значениях а уравнения x3+ax+1=0 и
x4+ax2+1=0 имеют хотя бы один общий корень?
4.2. Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма
расстояний от которой до всех вершин и до всех сторон треугольника - наименьшая.
4.3. Найдите все целые а и b, такие что а4+4b4
является простым числом.
Задания
(1999-2000x)1/2+(2001x-2000)1/2 ?
((2+3)*(22+32)*...*(2256+3256)*(2512+3512)+21024)/31024
Результаты
| Команда школы | I | II | III | IV | Сумма баллов | Место | ||||||||
| 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | |||
| 2А | 6 | 3 | 0 | 1 | 7 | 0 | 8 | 8 | 8 | 7 | 5 | 9 | 62 | I-II |
| 2Б | 5 | 0 | 6 | 7 | 7 | 0 | 1 | 8 | 8 | 6 | 5 | 9 | 62 | I-II |
| 5А(Долгопрудный) | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 6 | 7 | 0 | 4 | 25 | 13-14 |
| 5Б(Долгопрудный) | 6 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 2 | 4 | 8 | 4 | 0 | 8 | 39 | IV-V |
| 7А | 0 | 1 | 0 | 0 | 7 | 0 | 0 | 5 | 8 | 0 | 0 | 0 | 21 | 17 |
| 7Б | 5 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 8 | 1 | 7 | 7 | 0 | 3 | 38 | VI |
| 40 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 8 | 6 | 4 | 1 | 27 | 10-12 |
| 109А | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 8 | 1 | 8 | 1 | 0 | 1 | 23 | 16 |
| 109Б | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 10 | 20-21 |
| 152А | 0 | 3 | 0 | 1 | 7 | 0 | 0 | 3 | 8 | 0 | 0 | 3 | 25 | 13-14 |
| 152Б | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 22 |
| 174 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 23-24 |
| 218 | 1 | 3 | 0 | 7 | 0 | 0 | 6 | 0 | 8 | 7 | 9 | 2 | 43 | III |
| 548 | 5 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 1 | 8 | 6 | 0 | 0 | 24 | 15 |
| 1101 | 5 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | 8 | 0 | 8 | 7 | 0 | 3 | 37 | 7 |
| 1189А | 0 | 0 | 0 | 0 | 7 | 0 | 8 | 0 | 8 | 8 | 0 | 0 | 31 | 8 |
| 1189Б | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 8 | 0 | 8 | 7 | 0 | 2 | 27 | 10-12 |
| 1514А | 6 | 0 | 5 | 1 | 7 | 1 | 8 | 1 | 8 | 0 | 0 | 2 | 39 | IV-V |
| 1514Б | 5 | 0 | 0 | 2 | 7 | 0 | 6 | 0 | 8 | 0 | 0 | 1 | 29 | 9 |
| 1514B | 5 | 0 | 0 | 0 | 7 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 17 | 18 |
| 1560 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 10 | 20-21 |
| 1694А | 0 | 0 | 6 | 0 | 7 | 1 | 3 | 8 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 10-12 |
| Новая гуманитарная школа А | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 23-24 |
| Новая гуманитарная школа Б | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 12 | 19 |