Математическая регата 10 классов 15.04.2000

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Может ли сумма возрастающей и убывающей функций быть периодической функцией, отличной от постоянной?

2.2. Дан квадрат ABCD. На сторонах BC и CD выбраны точки K и N, так что BK = KC и CN:ND = 2:1. Отрезки AK и BN пересекаются в точке T. Площадь четырехугольника KCNT равна 13. Найдите площадь треугольника BTA.

2.3. Решите уравнение: 5cos⁵x + 3sin³x = 5.

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Решите систему уравнений:

{	x/y = y/z = z/u = u/s = s/t;
	x = 8u;
	x + y + z + u + s + t = 15+(3/4)

3.2. Существует ли тетраэдр, периметр каждой грани которого больше суммы остальных трех ребер?

3.3. Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших пятидесяти, надо взять, чтобы любые два из них были взаимно простыми?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Решите уравнение:
1 + x² + x⁴ + ... + x³⁹⁹⁸ + x⁴⁰⁰⁰ = 2001x²⁰⁰⁰.

4.2. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMP и BCDK. Докажите, что продолжение медианы BE треугольника ABC является высотой треугольника BMK.

4.3. Решите уравнение в натуральных числах:
12x² - 4x - 2xy + 3y - 9 = 0.

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Существует ли натуральное n, такое что:
sin(2^1/2) + sin(2*2^1/2) + ... + sin(n*2^1/2) > 2000 ?

5.2. Существует ли такой пятиугольник, отличный от правильного, что точки попарного пересечения его диагоналей являются вершинами пятиугольника, который ему подобен?

5.3. Решите уравнение:
(x² + [x] + 1)² + [x² + [x] + 1] = x - 1.