XIII УРАЛЬСКИЙ (VII КИРОВСКИЙ) ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 04-10.03.1999

Условия задач математических боёв


Математические бои проводились по приведённым здесь правилам.



МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 06.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. В правильном треугольнике ABC на стороне AB взяли точку E и на отрезке EC построили в сторону точки B правильный треугольник EKC. Докажите, что прямые AC и BK параллельны.

2. Сумма положительных чисел х и у равна 1. Докажите, что (x/(y2+1))+(y/(x2+1))>1/2

3. Из квадрата 1999*1999 вырезана одна клетка. Известно, что полученную фигуру можно разрезать на прямоугольники размером 1*2. Докажите, что тогда это можно сделать по крайней мере двумя различными способами.

4. В песочнице лежит кучка из 123456789 песчинок. Дима и Катя играют в такую игру. За один ход можно взять из любой кучки любое число песчинок, большее 1, которое является делителем числа песчинок в этой кучке, и создать из них отдельную кучку. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Первый ход делает Катя. Кто выиграет при правильной игре?

5. Дан остроугольный треугольник. Найдите на плоскости такую точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны, минимальна.

6. Клетчатый прямоугольник 199*9 разрезают по границам клеток на две части. Какая наибольшая сумма периметров может получиться у этих частей?

7. Можно ли в клетках таблицы 4*4 расставить различные натуральные числа, не превосходящие 40, так, чтобы в любых соседних (имеющих общую сторону) клетках находились числа, одно из которых делится на другое?

8. Докажите, что для любого целого или дробного числа r, не меньшего 0.5, но не большего 5, существует натуральное число, сумма цифр которого возрастает ровно в r раз при делении его на 2.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 06.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. В правильном треугольнике ABC на стороне AB взяли точку E и на отрезке EC построили в сторону точки B правильный треугольник EKC. Докажите, что прямые AC и BK параллельны.

2. На математической карусели было предложено 15 исходных и 20 зачетных задач. Какое наибольшее количество "плюсов" (за исходные и зачетные задачи вместе) могла получить за игру одна команда?

3. Сумма положительных чисел х и у равна 1. Докажите, что (x/(y2+1))+(y/(x2+1))>1/2

4. Из квадрата 19*19 вырезана одна клетка. Известно, что полученную фигуру можно разрезать на прямоугольники размером 1*2. Докажите, что тогда это можно сделать по крайней мере двумя различными способами.

5. Микрокалькулятор "АГ-99" умеет выполнять только две операции: превратить число х в число 3х+1 и превратить число х в число 8х+1. Можно ли с его помощью превратить число 2 в число 1000000?

6. Составьте из восьми различных цифр такое восьмизначное число, что при вычеркивании из него любых двух цифр получается составное число?

7. Можно ли в клетках таблицы 4*4 расставить различные натуральные числа, не превосходящие 40, так, чтобы в любых соседних (имеющих общую сторону) клетках находились числа, одно из которых делится на другое?

8. Дан остроугольный треугольник. Найдите на плоскости такую точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны, минимальна.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 06.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Восемнадцать коротышек водят хоровод. Среди них девять мальчиков и девять девочек. Очень умному Знайке сообщили, что х коротышек-мальчиков стоят подряд. После этого он сделал абсолютно верный вывод, что в хороводе три коротышки-девочки тоже должны стоять подряд. Найти наименьшее возможное значение числа х.

2. На математической карусели было предложено 15 исходных и 20 зачетных задач. Какое наибольшее количество "плюсов" (за исходные и зачетные задачи вместе) могла получить за игру одна команда из шести игроков?

3. Сумма положительных чисел х и у равна 1. Докажите, что (x/(y2+1))+(y/(x2+1))>1/2

4. Из квадрата 1999*1999 вырезана одна клетка. Известно, что полученную фигуру можно разрезать на прямоугольники размером 1*2. Докажите, что тогда это можно сделать по крайней мере двумя различными способами.

5. Дан остроугольный равнобедренный треугольник. Найдите на плоскости такую точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны, минимальна.

6. Клетчатый прямоугольник 199*9 разрезают на по границам клеток на две части. Какая наибольшая сумма периметров может получиться у этих частей?

7. Можно ли в клетках таблицы 4*4 расставить различные натуральные числа, не превосходящие 40, так, чтобы в любых соседних (имеющих общую сторону) клетках находились числа, одно из которых делится на другое?

8. Докажите, что существует натуральное число, сумма цифр которого возрастает ровно в 199/99 раза при делении его на 2.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 1. 06.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Восемнадцать коротышек водят хоровод. Среди них девять мальчиков и девять девочек. Очень умному Знайке сообщили, что х коротышек-мальчиков стоят подряд. После этого он сделал абсолютно верный вывод, что в хороводе три коротышки-девочки тоже должны стоять подряд. Найти наименьшее возможное значение числа х.

2. На математической карусели было предложено 15 исходных и 20 зачетных задач. Какое наибольшее количество "плюсов" (за исходные и зачетные задачи вместе) могла получить за игру одна команда из шести игроков?

3. Сумма положительных чисел х и у равна 1. Докажите, что (x/(y2+1))+(y/(x2+1))>1/2

4. Из квадрата 19*19 вырезана одна клетка. Известно, что полученную фигуру можно разрезать на прямоугольники размером 1*2. Докажите, что тогда это можно сделать по крайней мере двумя различными способами.

5. Микрокалькулятор "АГ-99" умеет выполнять только две операции: превратить число х в число 3х+1 и превратить число х в число 8х+1. Можно ли с его помощью превратить число 2 в число 1000000?

6. Составьте из восьми различных цифр такое восьмизначное число, что при вычеркивании из него любых двух цифр получается составное число?

7. Можно ли в клетках таблицы 4*4 расставить различные натуральные числа, не превосходящие 40, так, чтобы в любых соседних (имеющих общую сторону) клетках находились числа, одно из которых делится на другое?

8. Дан остроугольный равнобедренный треугольник. Найдите на плоскости такую точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны, минимальна.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 07.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Две прямые пересекаются под острым углом. Докажите, что на плоскости можно так провести оси координат, что в получившейся системе координат произведение угловых коэффициентов данных прямых равно 1.

2. На основании AC равнобедренного треугольника ABC дана точка M, а на боковой стороне BC - точка K. Точка L симметрична точке A относительно середины отрезка KM. Докажите, что BM+BL>BA+BK.

3. Карлсон, Робин-Бобин и Гаргантюа устроили соревнование по поеданию трех одинаковых тортов. Соревнование длится сто минут. В первую минуту Гаргантюа съедает 1/101 часть своего торта, во вторую - 1/102 часть и т. д. Робин-Бобин съедает в первую минуту 1/201 часть своего торта, во вторую - 1/202 часть и т. д. Наконец, Карлсон съедает в первую минуту 1/301 часть своего торта, во вторую - 1/302 часть и т.д. Гаргантюа уверен, что съеденное им ровно на 20% больше съеденного двумя другими обжорами, вместе взятыми. Прав ли он?

4. Сумма квадратов нескольких положительных чисел равна сумме их кубов. Что больше: сумма четвертых степеней этих чисел или сумма их пятых степеней?

5. В ряд выписаны пары цифр 00, 01,...,99. Петя подчеркнул некоторые из них. Оказалось, что в любом 1000-значном числе найдутся две рядом стоящие цифры, образующие подчеркнутую пару. Какое наименьшее количество пар мог подчеркнуть Петя?

6. Шурик сидел под кипарисом и придумывал новую задачу. За каждые пять минут ему на голову падало не более десяти шишек, а за каждые семь минут - более пятнадцати. Какое максимальное число минут это могло продолжаться?

7. Компьютерная программа проделывает с натуральным числом в десятичной записи следующую операцию: "переворачивает" число, складывает с исходным, а потом вычеркивает его последнюю цифру. Потом эта же операция проделывается с результатом, и так далее. Программа заканчивает работу, когда получается число, меньшее 1000. Может ли случиться так, что эта программа будет работать бесконечно?

8. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что BL=AB. На продолжении BL за точку L выбрана точка K так, что /BAK+/BAL=180o. Докажите, что BK=BC.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 07.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. В ряд выписаны пары цифр 00, 01,...,99. Петя подчеркнул некоторые из них. Оказалось, что в любом 1000-значном числе найдутся две рядом стоящие цифры, образующие подчеркнутую пару. Какое наименьшее количество пар мог подчеркнуть Петя?

2. a, b и с - три различных числа. Известно, что а2+а=b2-b=c2-c. Докажите, что среди трех данных чисел найдутся два, сумма которых равна нулю.

3. Карлсон, Робин-Бобин и Гаргантюа устроили соревнование по поеданию трех одинаковых тортов. Соревнование длится сто минут. В первую минуту Гаргантюа съедает 1/101 часть своего торта, во вторую - 1/102 часть и т.д. Робин-Бобин съедает в первую минуту 1/201 часть своего торта, во вторую - 1/202 часть и т.д. Наконец, Карлсон съедает в первую минуту 1/301 часть своего торта, во вторую - 1/302 часть и т.д. Гаргантюа уверен, что съеденное им ровно на 20% больше съеденного двумя другими обжорами, вместе взятыми. Прав ли он?

4. От Москвы до Ярославля - 250 км, от Ярославля до Шарьи - 400 км, от Шарьи до Кирова - 300 км. Поезд может ехать с любой скоростью, не превышающей 100 км/час. Машинист заметил, что путь от Москвы до Шарьи занял 13 часов, а от Ярославля до Кирова - 14 часов. Сколько времени мог идти поезд из Москвы в Киров (укажите наименьшее и наибольшее возможные значения)?

5. Даны 5 чисел. Из них составили всевозможные суммы. Известно, что по крайней мере 17 из этих сумм положительны. Можно ли утверждать, что сумма всех пяти данных чисел положительна?

6. На листе бумаги написаны все натуральные числа от 1 до 100. Некоторые числа написаны синими чернилами, а остальные - красными. Если сложить два разных числа одного цвета, и полученная сумма не будет превосходить 100, то она будет иметь тот же цвет, что и слагаемые. Сколько синих чисел может быть среди написанных?

7. Натуральное число "переворачивают", складывают с начальным и из суммы вычеркивают одну цифру (какую - выбираем сами). Существует ли натуральное число, которое не изменяется при этом?

8. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что BL=AB. На продолжении BL за точку L выбрана точка K так, что /BAK+/BAL=180o. Докажите, что BK=BC.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 07.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. В правильной пятиконечной звезде А1А2...А10 пять пар параллельных сторон (А1А2 и А8А9, А2А3 и А5А6, А3А4 и А10А1, А4А5 и А7А8, А6А7 и А9А10). Найти величины углов звезды.

2. Даны 5 чисел. Из них составили всевозможные суммы. Известно, что по крайней мере 16 из этих сумм положительны. Можно ли утверждать, что сумма всех пяти данных чисел положительна?

3. Карлсон, Робин-Бобин и Гаргантюа устроили соревнование по поеданию трех одинаковых тортов. Соревнование длится сто минут. В первую минуту Гаргантюа съедает 1/101 часть своего торта, во вторую - 1/102 часть и т.д. Робин-Бобин съедает в первую минуту 1/201 часть своего торта, во вторую - 1/202 часть и т.д. Наконец, Карлсон съедает в первую минуту 1/301 часть своего торта, во вторую - 1/302 часть и т.д. Гаргантюа уверен, что съеденное им ровно на 20% больше съеденного двумя другими обжорами, вместе взятыми. Прав ли он?

4. На листе бумаги написаны все натуральные числа от 1 до 100. Некоторые числа написаны синими чернилами, а остальные - красными. Если сложить два разных числа одного цвета, и полученная сумма не будет превосходить 100, то она будет иметь тот же цвет, что и слагаемые. Сколько синих чисел может быть среди написанных?

5. В ряд выписаны пары цифр 00, 01,...,99. Петя подчеркнул некоторые из них. Оказалось, что в любом 1000-значном числе найдутся две рядом стоящие цифры, образующие подчеркнутую пару. Какое наименьшее количество пар мог подчеркнуть Петя?

6. Шурик сидел под кипарисом и придумывал новую задачу. За каждые пять минут ему на голову падало не более десяти шишек, а за каждые семь минут - более пятнадцати. Какое максимальное число минут это могло продолжаться?

7. Компьютерная программа проделывает с натуральным числом в десятичной записи следующую операцию: "переворачивает" число, складывает с исходным, а потом вычеркивает его последнюю цифру. Потом эта же операция проделывается с результатом, и так далее. Программа заканчивает работу, когда получается число, меньшее 1000. Может ли случиться так, что эта программа будет работать бесконечно?

8. a, b и с - три различных числа. Известно, что а2+а=b2-b=c2-c. Докажите, что среди трех данных чисел найдутся два, сумма которых равна нулю.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 2. 07.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. На станции Киров несколько пассажиров вышли из вагона и несколько - сели в вагон. В результате число пассажиров уменьшилось на 10%, а доля мужчин среди них увеличилась с 50% до 55%. Увеличилось или уменьшилось число мужчин среди пассажиров?

2. Даны 5 чисел. Из них составили всевозможные суммы. Известно, что по крайней мере 17 из этих сумм положительны. Можно ли утверждать, что сумма всех пяти данных чисел положительна?

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что
BL = AB. На продолжении BL за точку L выбрана точка K так, что /BAK+/BAL=180o. Докажите, что BK=BC.

4. На доске написано целое положительное число. Число разрешено увеличивать на треть или на одну пятую его значения. Докажите, что, в каком бы порядке ни проделывались эти операции, число на доске рано или поздно перестанет быть целым.

5. На листе бумаги написаны все натуральные числа от 1 до 100. Некоторые числа написаны синими чернилами, а остальные - красными. Если сложить два разных числа одного цвета, и полученная сумма не будет превосходить 100, то она будет иметь тот же цвет, что и слагаемые. Сколько синих чисел может быть среди написанных?

6. От Москвы до Ярославля - 250 км, от Ярославля до Шарьи - 400 км, от Шарьи до Кирова - 300 км. Поезд может ехать с любой скоростью, не превышающей 100 км/час. Машинист заметил, что путь от Москвы до Шарьи занял 13 часов, а от Ярославля до Кирова - 14 часов. Сколько времени мог идти поезд из Москвы в Киров (укажите наименьшее и наибольшее возможные значения)?

7. Натуральное число "переворачивают", складывают с начальным и из суммы вычеркивают последнюю цифру. Существует ли натуральное число, которое не изменяется при этом?

8. a, b и с - три различных числа. Известно, что а2+а=b2-b=c2-c. Докажите, что среди трех данных чисел найдутся два, сумма которых равна нулю.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 09.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Остаток от деления числа А на 13 равен остатку от деления числа В на 11, а остаток от деления числа А на 11 равен остатку от деления числа В на 13. Докажите, что остаток от деления числа А+В на 143 не превосходит 20.

2. На острове Новая Вавилония используются 45 языков, причем каждый житель знает по крайней мере пять из них. Известно, что любые два жителя могут вести между собой беседу, возможно при посредничестве нескольких переводчиков. Докажите, что тогда любые два островитянина смогут поговорить между собой, пользуясь услугами не более чем 15 переводчиков.

3. В каждой клетке квадрата 101*101 записали по нулю. После этого несколько раз проделали следующее: брали некоторый квадратик 2*2 и ко всем числам в клетках этого квадратика добавляли по единице. Определите величину числа, стоящего в центре большого квадрата, если известны величины следующих чисел в клетках квадрата, стоящих в шахматном порядке:

4. На доске выписаны в ряд N (N>1) единичек. Двое по очереди делают ходы. За один ход нужно вычеркнуть одну единичку так, чтобы между нею и соседними зачеркнутыми единичками (если такие есть) было нечетное число незачеркнутых единиц. Проигрывает тот, кто не может сделать ход без нарушения правил. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход или его партнер.

5. Все углы при вершинах пятиконечной звезды равны между собой. Равны между собой и все расстояния от вершин звезды до противоположных вершин пятиугольника, получающегося при пересечении ее лучей. Докажите, что этот пятиугольник - правильный.

6. Даны N3 одинаковых кубиков и N различных красок. Как раскрасить грани маленьких кубиков (каждую - какой-то одной краской), чтобы при любом указании одной из данных N красок из них можно было сложить куб размером N*N*N, целиком окрашенный снаружи в этот цвет?

7. Сергей одну за другой достает из кармана черные и белые карточки и раскладывает их в две стопки. При этом на черную карточку он всегда кладет белую и наоборот. Так он разложил 100 карточек. Карточки, извлеченные из кармана 13-й, 14-й и 98-й оказались белыми. Какой была 99-я карточка?

8. Решите систему:
3a1-a2=a3,
3a2-a3=a4,
...,
3a100-a1=a2.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 09.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Найдите все такие пары целых положительных чисел (m,n), что 55-54+5n=m2.

2. На острове Новая Вавилония используются 44 языка, причем каждый житель знает по крайней мере пять из них. Известно, что любые два жителя могут вести между собой беседу, возможно при посредничестве нескольких переводчиков. Докажите, что тогда любые два островитянина смогут поговорить между собой, пользуясь услугами не более чем 15 переводчиков.

3. В каждой клетке квадрата 9*9 записали по нулю. После этого несколько раз проделали следующее: брали некоторый квадратик 2*2 и ко всем числам в клетках этого квадратика добавляли по единице. Определите величину числа, стоящего в центре большого квадрата, если известны величины следующих чисел в клетках квадрата, стоящих в шахматном порядке:

4. Дана полоска размером 1*1999, составленная из белых клеток. Двое играют в следующую игру: по очереди закрашивают каждым своим ходом одну из белых клеток в черный цвет так, чтобы между любыми двумя соседними черными клетками оставалось нечетное количество белых. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто из игроков выигрывает при правильной игре каждого из игроков?

5. Все углы при вершинах пятиконечной звезды равны между собой. Докажите, что равны между собой и все углы пятиугольника, получающегося при пересечении ее лучей.

6. Дана 1000 одинаковых кубиков и 10 различных красок. Как раскрасить грани маленьких кубиков (каждую - какой-то одной краской), чтобы при любом указании одной из данных десяти красок из них можно было сложить куб размером 10*10*10, целиком окрашенный снаружи в этот цвет?

7. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что BO=AD, CO=AB и равны углы BAD и AOD. Докажите, что BC>AD.

8. Решите систему:
3a1-a2=a3,
3a2-a3=a4,
...,
3a100-a1=a2.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 09.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Найдите все такие пары целых положительных чисел (m,n), что 55-54+5n=m2.

2. Квадрат разбит на несколько прямоугольников одинакового периметра. Одна из его диагоналей пересекает все эти прямоугольники. Докажите, что тогда и другая его диагональ пересекает все эти прямоугольники.

3. В каждой клетке квадрата 13*13 записали по нулю. После этого несколько раз проделали следующее: брали некоторый квадратик 2*2 и ко всем числам в клетках этого квадратика добавляли по единице. Определите величину числа, стоящего в центре большого квадрата, если известны величины следующих чисел в клетках квадрата, стоящих в шахматном порядке:

4. На доске выписаны в ряд N (N>1) единичек. Двое по очереди делают ходы. За один ход нужно вычеркнуть одну единичку так, чтобы между нею и соседними зачеркнутыми единичками (если такие есть) было нечетное число незачеркнутых единиц. Проигрывает тот, кто не может сделать ход без нарушения правил. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход или его партнер.

5. На кольцевой линии метро - три станции, расположенные в вершинах правильного треугольника. Поезда ходят по кольцу в обе стороны. Скорость движения на каждом участке в каждом направлении постоянна, но на разных участках и в разных направлениях одного участка может быть различной. Может ли случиться так, что от некоторой станции до любой другой по более длинному пути ехать быстрее, чем по более короткому?

6. Даны N3 одинаковых кубиков и N различных красок. Как раскрасить грани маленьких кубиков (каждую - какой-то одной краской), чтобы при любом указании одной из данных N красок из них можно было сложить куб размером N*N*N, целиком окрашенный снаружи в этот цвет?

7. Все расстояния от вершин пятиконечной звезды до противоположных вершин пятиугольника, получающегося при пересечении ее лучей, равны. Равны также все углы этого пятиугольника. Докажите, что все его стороны тоже равны.

8. Решите систему:
3a1-a2=a3,
3a2-a3=a4,
...,
3a100 -a1=a2.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 3. 09.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. Найдите все такие пары целых положительных чисел (m,n), что 2n+1=m2.

2. В каждой клетке квадрата 3*3 записали по нулю. После этого несколько раз проделали следующее: брали некоторый квадратик 2*2 и ко всем числам в клетках этого квадратика добавляли по единице. По четырем числам, показанным на рисунке слева, восстановите остальные.

3. На плоскости отметили несколько точек. Оказалось, что все отмеченные точки лежат на двух прямых, причем на каждой по 6 точек ровно. Треугольников с вершинами в отмеченных точках нечетное число. Найти это число.

4. Дана полоска 1*1999 белых клеток. Двое играют в следующую игру: по очереди закрашивают каждым своим ходом одну из белых клеток в черный цвет так, чтобы между любыми двумя соседними черными клетками оставалось нечетное количество белых. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто из игроков выигрывает при правильной игре каждого из игроков?

5. На кольцевой линии метро - три станции, расположенные в вершинах правильного треугольника. Поезда ходят по кольцу в обе стороны. Скорость движения на каждом участке в каждом направлении постоянна, но на разных участках и в разных направлениях одного участка может быть различной. Может ли случиться так, что от некоторой станции до любой другой по более длинному пути ехать быстрее, чем по более короткому?

6. Дана 1000 одинаковых кубиков и 10 различных красок. Как раскрасить грани маленьких кубиков (каждую - какой-то одной краской), чтобы при любом указании одной из данных десяти красок из них можно было сложить куб размером 10*10*10, целиком окрашенный снаружи в этот цвет?

7. На острове Новая Вавилония используются 44 языка, причем каждый житель знает по крайней мере пять из них. Известно, что любые два жителя могут вести между собой беседу, возможно при посредничестве нескольких переводчиков. Докажите, что тогда любые два островитянина смогут поговорить между собой, пользуясь услугами не более чем 15 переводчиков.

8. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что BO=AD, CO=AB, /BAD=/AOD. Докажите, что BC>AD.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 10.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. Вдоль прямого шоссе расставлены светофоры. На каждом попеременно минуту горит красный свет, минуту - зеленый. По шоссе со скоростью 60 км/ч едут в одном направлении две машины. На красный свет машина мгновенно останавливается, на зеленый - мгновенно возобновляет движение с той же скоростью. Докажите, что, если в некоторый момент расстояние между машинами больше 5 км, то они никогда не встретятся.

2. В ряд по возрастанию выписано несколько натуральных чисел. Их сумма равна 70. Любые два соседних отличаются не более, чем на 3. Найдите наибольшую возможную разность между последним и первым из выписанных чисел?

3. В точке М внутри острого угла с вершиной О сидит жаба. Из вершины угла одновременно и с равными скоростями выползают два таракана, ползущие по сторонам угла. Жаба ждет, пока сумма расстояний от нее до тараканов не станет минимальной. Докажите, что в этот момент луч МО будет биссектрисой угла АМВ, где А и В - точки, в которых находятся тараканы.

4. Дано четыре утверждения: "x делится на 14", "y делится на 7", "x+y делится на 7", "x-y делится на 14". Ровно два из них неверны. Какие?

5. Дан белый клетчатый прямоугольник размером 1997*1999. Двое по очереди закрашивают в нем в черный цвет связные фигуры из 8 клеток каждая (не обязательно одинаковые). Проигрывает тот, кто не может закрасить очередную фигуру. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?

6. В трапеции отношение оснований равно 1999/199. Докажите, что ее можно разбить на равные треугольники.

7. В параллелограмме ABCD ВD=ВС. На диагонали взяты точки M и N так, что AM=MN=NC. Докажите, что треугольник ABM - равнобедренный.

8. Натуральные числа a и k таковы, что число (а-1)а(а+1) делится на число а2+k. Докажите, что k>a.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 10.03.1999.

СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. В одном из 500 стоящих в один ряд шкафов спряталось привидение. Охотник за привидениями стреляет по шкафам. После очередного выстрела ему сообщают, насколько точным был этот выстрел, т.е., попал ли он, а если нет, то каким по точности является этот выстрел среди всех произведенных (в случае равенства с каким-то, это сообщается). Можно ли за 10 выстрелов наверняка попасть в привидение?

2. Дано четыре утверждения: "x делится на 14", "y делится на 7", "x+y делится на 7", "x-yделится на 14". Ровно два из них неверны. Какие?

3. В ряд по возрастанию выписано несколько натуральных чисел. Их сумма равна 70. Любые два соседних отличаются не более, чем на 3. Найдите наибольшую возможную разность между последним и первым из выписанных чисел?

4. Натуральные числа a и k таковы, что число (а-1)а(а+1) делится на число а2+k. Докажите, что k>a.

5. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что AB=AD=CD, /DBC=70o, /BAC=20o и /AOD=80o. Найдите угол BCD.

6. В трапеции отношение оснований равно 13/8. Докажите, что ее можно разбить на равные треугольники.

7. На доске написано несколько различных 1999-значных чисел. Каждое из них делится на все меньшие из написанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

8. В параллелограмме ABCD ВD=ВС. На диагонали взяты точки M и N так, что AM=MN=NC. Докажите, что треугольник ABM - равнобедренный.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 10.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА

1. В одном из 500 стоящих в один ряд шкафов спряталось привидение. Охотник за привидениями стреляет по шкафам. После очередного выстрела ему сообщают, насколько точным был этот выстрел, т.е., попал ли он, а если нет, то каким по точности является этот выстрел среди всех произведенных (в случае равенства с каким-то, это сообщается). Можно ли за 10 выстрелов наверняка попасть в привидение?

2. Вдоль прямого шоссе расставлены светофоры. На каждом попеременно минуту горит красный свет, минуту - зеленый. По шоссе со скоростью 60 км/ч едут в одном направлении две машины. На красный свет машина мгновенно останавливается, на зеленый - мгновенно возобновляет движение с той же скоростью. Докажите, что, если в некоторый момент расстояние между двумя машинами больше 5 км, то задняя никогда не догонит переднюю.

3. В ряд по возрастанию выписано несколько натуральных чисел. Их сумма равна 70. Любые два соседних отличаются не более, чем на 3. Найдите наибольшую возможную разность между последним и первым из выписанных чисел?

4. Дано четыре утверждения: "x делится на 14", "y делится на 7", "x+y делится на 7", "x-y делится на 14". Ровно два из них неверны. Какие?

5. Дан белый клетчатый прямоугольник размером 1997*1999. Двое по очереди закрашивают в нем в черный цвет связные фигуры из 8 клеток каждая (не обязательно одинаковые). Проигрывает тот, кто не может закрасить очередную фигуру. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?

6. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что /DBC = 70o, /BAC = 20o, AB = AD = CD и ОС = OD. Найдите угол BCD.

7. В доме отдыха 1999 отдыхающих. Некоторые из них знакомы между собой, причем любые двое незнакомых имеют среди отдыхающих общего знакомого. Каково наименьшее возможное число пар знакомых отдыхающих?

8. Натуральные числа a и k таковы, что число (а-1)а(а+1) делится на число
а2 + k. Докажите, что k > a.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ N 4. 10.03.1999.

МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА

1. На доске написано несколько различных 1999-значных чисел. Каждое из них делится на все меньшие из написанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что AB = AD = CD, /DBC = 70o, /BAC = 20o и /AOD = 80o. Найдите угол BCD.

3. Дано четыре утверждения: "x делится на 14", "y делится на 7", "x+y делится на 7", "x-y делится на 14". Ровно два из них неверны. Какие?

4. Дан клетчатый прямоугольник размером 19*99. За один ход можно вырезать из него прямоугольник из трех клеток или "уголок" из трех клеток. Двое делают ходы по очереди. Проигрывает тот, кто не может вырезать очередную фигуру. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?

5. В ряд по возрастанию выписано несколько натуральных чисел. Их сумма равна 70. Любые два соседних отличаются не более, чем на 3. Найдите наибольшую возможную разность между последним и первым из выписанных чисел?

6. Натуральные числа a и k таковы, что число (а-1)а(а+1) делится на число а2 + k. Докажите, что k > a.

7. В доме отдыха 1999 отдыхающих. Некоторые из них знакомы между собой, причем любые двое незнакомых имеют среди отдыхающих общего знакомого. Каково наименьшее возможное число пар знакомых отдыхающих?

8. Можно ли расставить на клетчатой доске 16*16 полный комплект для игры в "морской бой" (1 кораблик 1*4, 2 кораблика 1*3, 3 кораблика 1*2 и 4 кораблика 1*1) так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?