Команда Москвы на Всероссийской математической олимпиаде 2000

Опубликовано 24.03.2000 17:13

Состав команды | Московский отборочный тур: | 9 класс | 10 класс | 11 класс

Олимпиада состоится в городе Казань с 12.04.2000 по 18.04.2000 .

В команду включались школьники, обучающиеся на территории г. Москвы и удовлетворяющие хотя бы одному из следующих условий:

Состав команды г. Москвы на Всероссийской математической олимпиаде - 2000

NФамилия, имяклассшколаоснованиерезультат
1.Притыкин Юрий9571-я премия на 63 ММО-
2.Карпова Татьяна957результаты 63 ММО и отборочного тура-
3.Митричев Пётр957результаты 63 ММО и отборочного турадиплом 2 степени
4.Позовной Олег92результаты 63 ММО и отборочного турапохвальная грамота
5.Ермаченко Александр957результаты 63 ММО и отборочного тура-
6.Булычёв Пётр92результаты 63 ММО и отборочного тура-
7.Ломаев Сергей92результаты 63 ММО и отборочного тура-
8.Маргулис Даниил957результаты 63 ММО и отборочного тура-
9.Рыжов Дмитрий957результаты 63 ММО и отборочного тура-
10.Филимонов Дмитрий9218результаты 63 ММО и отборочного тура-
11.Межиров Илья1057персональное приглашениедиплом II степени
12.Гусев Глеб1057персональное приглашениепохвальная грамота
13.Горский Евгений1057персональное приглашениедиплом III степени
14.Мусатов Даниил101543персональное приглашениедиплом III степени
15.Акопян Арсений102персональное приглашениедиплом II степени
16.Клименко Алексей10571-я премия на 63 ММОдиплом III степени
17.Румянцев Андрей1018результаты 63 ММО и отборочного туране участвовал
18.Горбачёв Алексей1057результаты 63 ММО и отборочного турапохвальная грамота
19.Сажин Виктор10710результаты 63 ММО и отборочного турапохвальная грамота
20.Виноградов Дмитрий1057результаты 63 ММО и отборочного тура-
21.Лапшин Виктор101303результаты 63 ММО и отборочного турадиплом III степени
22.Пальвелёв Роман101543результаты 63 ММО и отборочного тура-
23.Подольский Владимир1054результаты 63 ММО и отборочного тура-
24.Теннова Наталия1157персональное приглашениепохвальная грамота
25.Агапов Андрей1157персональное приглашение-
26.Скопенков Михаил1118персональное приглашениедиплом III степени
27.Вабищевич Николай117521-я премия на 63 ММО-
28.Жгун Владимир1157результаты 63 ММО и отборочного тура-
29.Зарубина Анна1157результаты 63 ММО и отборочного тура-
30.Шарич Владимир1118результаты 63 ММО и отборочного турадиплом III степени

Московский отборочный тур на Всероссийскую математическую олимпиаду - 2000

Москва, МЦНМО, 20.03.2000

9 класс

1. а) Дана конечная последовательность нулей и единиц. Разрешается делать такие замены: 10 -> 001. Может ли процесс продолжаться до бесконечности?

б) Тот же вопрос, если разрешается делать замены 10 -> 001 и 10 -> 011.

2. Можно ли разрезать круг на 7 равновеликих частей тремя прямолинейными разрезами?

3. Четырехугольник ABCD - вписанный, K - середина той дуги AD, где нет других вершин четырехугольника. Пусть X и Y - точки пересечения прямых BK и CK с диагоналями.Докажите, что XY параллельна AD.

4. Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. Решите уравнение: S(n4)=S4(n).

5. Докажите, что при любых натуральных m,n   (mn)!2 делится на (m!)n+1   (n!)m+1.

6. Поверхность куба с ребром целочисленной длины n разрезана на единичные квадраты. Через центры всех этих квадратов проведена замкнутая несамоперекающаяся ломаная (ее звенья параллельны ребрам куба). Ломаная делит поверхность куба на две части. Сколько различных (по абсолютной величине) значений может принимать разность площадей этих частей?

10 класс

1. Существуют ли такие непрерывные функции f(x), g(x), что для любого вещественного x   f(g(x))=arctg x,   g(f(x))=arcctg x ?

2. Можно ли на клетчатой бумаге начертить замкнутую 2001-звенную ломаную, все вершины которой находятся в узлах сетки, а все звенья имеют равную длину?

3. В каждой из двух таблиц n*n расставлены числа от 1 до n2. Докажите, что либо можно указать два числа, которые в одной таблице стоят в одной строке, а в другой - в одном столбце, либо одна таблица получается из другой путем перестановки чисел сначала в строках, а потом в столбцах.

4. Треугольник ABC разбит биссектрисами на 6 треугольников, и в каждый из них вписана окружность. Четыре из этих окружностей равны. Докажите, что треугольник ABC - равносторонний.

5. Пусть y > 0,   x1999+y2000 > x2000+y2001. Докажите, что x+y < 2.

6. Раскраска вершин графа называется правильной, если любые две соседние вершины имеют разный цвет. Докажите, что для каждого данного графа число способов правильной раскраски в k цветов при достаточно больших k есть многочлен от k.

11 класс

1. Непрерывная функция f(x) такова, что при любом вещественном x   f(f(x))=-x2. Докажите, что при любом x   f(x) < 0.

2. Можно ли на клетчатой бумаге начертить замкнутую 2001-звенную ломаную, все вершины которой находятся в узлах сетки, а все звенья имеют равную длину?

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, AD и BC в точке Q, диагонали в точке O. Докажите, что если угол POQ прямой, то:

а) прямые OP и OQ - биссектрисы углов между диагоналями;

б) KL*MN = KN*ML, где K,L,M,N - основания перпендикуляров, опущенных из O на AB, BC, CD, DA.

4. Пусть куб с ребром целочисленной длины k разбит на единичные кубики, и в некоторых из них стоят ладьи (они могут ходить параллельно любому ребру куба). Упаковку ладей назовем плотной, если ладьи не бьют друг друга и их k2 штук. Пусть дан куб C с ребром длины 2n и плотная упаковка ладей в нем. В кубе C отмечена вершина A. Рассмотрим содержащиеся в C кубы с вершиной A, составленные из единичных кубиков и имеющие плотную упаковку ладей. Каково наибольшее возможное число таких кубов?

5. Дана последовательность чисел: a0=1;   an+1=an+S(an), где S(k) - сумма цифр числа k. Докажите, что для бесконечно многих k
S(ak) < lg(lg(lg ak)).

6. Какое наименьшее число ребер может быть в графе с 2000 вершин, если среди любых 10 вершин хотя бы одна соединена с остальными 9?