Задания
Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).
1.1. Решая задачу: "Какое значение принимает выражение x2000 + x1999 + x1998 + 1000x1000 + ... + 1000x999 + 1000x998 + 2000x3 + 2000x2 + 2000x + 3000 (x - действительное число), если x2 + x + 1 = 0? ", Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася? Ответ обосновать.
1.2. Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и
картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)?
1.3. Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?
Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).
2.1. Квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c не имеет корней и а + b + c > 0. Найдите знак коэффициента с.
2.2. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?
2.3. Назовем натуральное число "замечательным", если оно - самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных замечательных чисел?
Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).
3.1. На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: y2 - |y| = x2 - |x|.
3.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E, F и G - середины сторон AB, BC и AD соответственно, причем, GE | AB, GF | BC. Найдите угол ACD.
3.3. Тридцать студентов с пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причем однокурсники - одинаковое количество задач, а студенты с разных курсов - разное. Сколько студентов придумали по одной задаче?
Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).
4.1. Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.
4.2. Диагонали равнобокой трапеции АВСD с боковой стороной АВ пересекаются в точке Р. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника ABP?
4.3. Корни уравнения x2 + ax + 1 = b - целые, отличные от нуля, числа. Докажите, что число
a2 + b2 является составным.
Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).
5.1. Про квадратный трехчлен f(x) = ax2 - ax + 1 известно, что |f(x)| < 1 при 0 < x < 1. Найдите наибольшее возможное значение а.
5.2. Дан тупоугольный треугольник АВС. На стороне АС, лежащей против тупого угла, укажите такие точки D, что отрезок BD является средним геометрическим отрезков AD и CD.
5.3. Докажите, что среди чисел вида 19991999...199900...0 найдется хотя бы одно, которое делится на 2001.