Математическая регата 9 классов 27.11.1999

Задания | Результаты | План мероприятий Турнира Архимеда на 1999/2000 уч. г.

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Задайте формулой какую-либо функцию f(х), которая определена при всех х, кроме тех, которые принадлежат промежутку [1; 2).

1.2. В треугольнике АВС точка А1 принадлежит отрезку ВС, а точка С1 - отрезку АВ. Может ли точка пересечения отрезков АА1 и СС1 быть серединой каждого из них?

1.3. Решите уравнение в целых числах: 1 + р + р2 + р3 = 3n.


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. При всех значениях а решите уравнение: (a-|x|)1/2 + (x2-a2)1/2 = -a .

2.2. В треугольнике АВС: /А > /В > /С. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности?

2.3. На окружности расположены 1999 белых и одна красная точка. Рассмотрим все выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: тех, у которых есть красная вершина или тех, у которых её нет?


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Найдите значение выражения (1+x+xy)-1 + (1+y+yz)-1 + (1+z+zx)-1, если известно, что хyz = 1.

3.2. Даны два лоскута материи, имеющие форму квадратов (их размеры - различны). Как их нужно раскроить, чтобы из всех получившихся кусков можно было сшить скатерть, также имеющую форму квадрата?

3.3. Найдите все такие двузначные числа x, для каждого из которых истинны ровно три из следующих шести утверждений:
1) x делится на 3;
2) x делится на 5;
3) x делится на 9;
4) x делится на 15;
5) x делится на 25;
6) x делится на 45.


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. При каких значениях а сумма четвёртых степеней корней уравнения х2 - х + а = 0 принимает наименьшее значение?

4.2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, имеющей длину с, проведена высота СН. К - середина ВС. Найдите радиус окружности, проходящей через точки С, Н и К.

4.3. Каждый зритель, пришедший на спектакль "Королевский жираф", принес с собой либо одну дохлую кошку, либо два кочана гнилой капусты, либо три тухлых яйца. Стоявший у входа Гекльберри Финн подсчитал, что кошек было 64 штуки. После спектакля оба артиста - король и герцог - были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю каждого досталось поровну предметов (а промахов жители Арканзаса не делают). Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все дохлые кошки полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Даны графики двух квадратичных функций: f(x) = a1x2 + b1x + c1 и g(x) = a2x2 + b2x + c2, имеющие одинаковые направления "ветвей". Абсциссы их точек пересечения положительны, оси симметрии могут не совпадать (см. рис.). Сравните соответствующие коэффициенты трехчленов.

5.2. М - внутренняя точка равностороннего треугольника АВС. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам МА, МВ и МС, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?

5.3. Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVVСумма
баллов
Место
123123123123123
140670006380200377-8
666777702487009761
060773003300800377-8
109А 160720707400200369
109Б 0007110030002192411-12
152А 6007107011001093310
152Б 0102120011002001016-17
218А 660775007800209574
218Б 1607700001002002411-12
223 0510100003802002013
1018 команда не явилась
1101А060670007008009436
1101Б0007100071001001714
1514А660770707100190515
1514Б661667003313989682
1525А1301010000001091615
1525Б050010002000000 818
1543 660770077306009583
109В 0116110000000001016-17
1101В010010000000100 319
Примечание. Команды школ 109В и 1101В были сформированы в последний момент и включены в соревнования вместо не явившейся команды школы 1018 и отказавшейся от участия в накануне школы 1523.